Einige Fragen

[JakobM]

Hey ich bin grad am Lin Alg VO lernen und hab bissl Probleme mit den wahr/falsch Fragen, bei denen man entweder ein Gegenbeispiel geben soll, oder eine Begründung/Beweis.
Hier wären ein paar die sich des öfteren wiederholen und bei denen es nett wäre wenn mir jmd weiter helfen könnt. Ich bin mir bei einigen über die Antwort sicher, aber bei der Argumentation haperts manchmal ein bissi…

1., Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
Sei A eine NxN-Matrix über den reellen Zahlen
A ist regulär ↔ Rang(A)=n ↔ det(A)=0 ↔ Kern(A)={0} ↔ Bild(A)=R^n

2., DIe NxN-Matrix A ist diagonalisierbar genau dann, wenn sie eine Eigenbasis besitzt. Das ist genau dann der Fall wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit aller EW gleich sind

3., Die NxN-Matrix A ist regulär, genau dann, wenn ihre EW positiv sind.
(f. zb $
\begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & -1
\end{pmatrix}
$)

4., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch, genau dann wenn sie diagonalisierbar ist.
(Ich weiß, ist schon öfter aufgetaucht, wenn mir aber vlt jmd genau aufschreiben könnt, was als Antwort passt wär das super…)

5., Die NxN-Matrix A ist regulär. Es gilt det(A^-1)=(det(A))^-1

6., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch. Dann besitzt A eine orthogonale Eigenbasis, dh stehen paarweise senkrecht aufeinander.

7., Die NxN-Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten besitzt eine Eigenbasis.

8., Die NxN-Matrix A ist diagonalisierbar. Dann ist ihre Eigenbasis eindeutig.

und zu guter letzt das beliebteste Bsp, ist jetzt allerdings keine w/f Frage.

Geben sie 3 verschiedene Lösbarkeitskriterien für ein LGS A*x=b an.
Mir fallen nur ein Rang(A)=Rang(A|b) und b im Bild(A), wobei die doch äquivalent sind?

Danke für alle Antworten ^^
und LG Jakob

[gemibi]

Geben sie 3 verschiedene Lösbarkeitskriterien für ein LGS A*x=b an.
Mir fallen nur ein Rang(A)=Rang(A|b) und b im Bild(A), wobei die doch äquivalent sind?

Ich habe für die Prüfung rausgesucht gehabt:

• Rang(A)=Rang(A|b)
  
  
  
• b Element des Bildes
  
  
  
• eindeutig wenn Rang A = n = voll → det(A)=0 → Ax=0 nur mit trivialer Lösung x=0 lösbar
  
  
  
• Rang<n → es existieren linear unabhängige Lösungsvektoren → allgemeine Lösung → z + Kern(a) → nicht eindeitig
  
  
  
• Rang(A)<Rang(A|b) → unlösbar
  
  
  
• Abbildung von A ist surjektiv
  
  
  

DIe NxN-Matrix A ist diagonalisierbar genau dann, wenn sie eine Eigenbasis besitzt. Das ist genau dann der Fall wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit aller EW gleich sind

Meiner Meinung nach richtig wenn algeb. und geo. Vielf. für alle verschiedenen EW gleich ist

3. so wie du

4., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch, genau dann wenn sie diagonalisierbar ist.

Meiner Meinung nach falsch eine diagonalisierbare Matrix muss nicht symmetrisch sein

sonst kann ich mich nicht mehr an allzu viel erinnern. bzw hoffe ich dass das stimmt was ich da aufgeschrieben habe

[bananenneutrino]

@JakobM

4., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch, genau dann wenn sie diagonalisierbar ist.
(Ich weiß, ist schon öfter aufgetaucht, wenn mir aber vlt jmd genau aufschreiben könnt, was als Antwort passt wär das super…)

Überleg dir mal die hier: http://www.wolframalpha.com/input/?i={{1%2C1}%2C{0%2C0}}

5., Die NxN-Matrix A ist regulär. Es gilt det(A^-1)=(det(A))^-1

Such dir deine Rechenregeln für Determinanten raus, dann wirst du schnell haben, ob es stimmt oder nicht.

6., Die NxN-Matrix A ist symmetrisch. Dann besitzt A eine orthogonale Eigenbasis, dh stehen paarweise senkrecht aufeinander.

Stichwort: Spektralsatz. Dem wirst du noch oft über den Weg rennen, also schau genau hin. (mit Variationen, im Allgemeinen „normal“, statt Matrix selbstadjungierte Abbildung.)

8., Die NxN-Matrix A ist diagonalisierbar. Dann ist ihre Eigenbasis eindeutig.

Mit der Fragestellung bin ich unglücklich: Sie ist an und für sich falsch, da man einen beliebigen Eigenvektor skalieren kann, und er bleibt Eigenvektor. Auf der anderen Seite sind die Eigenräume allesamt 1-dimensional und eindeutig (das sind Eigenräume immer), setzt man also z.B. Normiertheit und das alle Vektoren in einer bestimmten Hälfte des R^n liegen müssen vorraus, ist sie sehr wohl eindeutig. Aber nur dann, was sehr leicht verwirren kann.

[JakobM]

Danke sehr euch beiden.

Also dh dann:

1., wahr (aber werde ich das alles beweisen müssen?)
Was mir klar ist is: detA≠0 ↔ RangA=n, denn wäre er kleiner wären zb in der letzten Zeile der Matrix nur Nuller und detA=0,
außerdem wenn KernA={0} gilt nach dimBildA+dimKernA=n dimBildA=n und BildA=R^n
dann RangA=n ↔ KernA={0}, denn Ax=0 kann nur die Lsg x_1=…=x_n=0 haben
und (ohne Beweis) RangA=n ↔ A ist invertierbar;
laut Definition ist eine Matrix regulär wenn es eine andere Matrix B (die Inverse) gibt mit AB=I, wobei I die Einheitsmatrix und es gilt A ist invertierbar ↔ A ist regulär, damit RangA=n ↔ A ist regulär

stimmt das überhaupt soweit?

2., wahr (Begründung?)

3., f. Gegenbeispiel
$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & -1
\end{pmatrix}
$

4., f. Gegenbeispiel
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
0 & 0
\end{pmatrix}
$
?
oder sollte man das eher auf eine wahre Aussage umstellen?

5., w. es gilt:
det(I)=det(A*A^-1)=1 außerdem det(A)*det(A^-1)=1 und damit
det(A^-1)=1/det(A)

6., Stichwort Spektralsatz ^^

7., müsste doch falsch sein, denn wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat ist zwar die algebraische Vfh jedes einzelnen Eigenwerts=1, aber die geometrische Vfh muss noch nicht gleich der algebraischen Vfh sein.
Habe allerdings kein Gegenbeispiel
edit:
ist richtig, denn die geometrische Vfh muss größer 1, aber kleiner der algebraischen Vfh sein, also in diesem Fall gleich 1 und, damit stimmt sie für jeden EW mit der alg. Vfh überein → Eigenbasis

8.,
wieso sind denn die Eigenräume 1-dimensional? Wenn es mehrere l.u. EV zu einem EW gibt, dann müsste dieser doch die lineare Hülle aller EV sein und damit doch nicht eindimensional, oder?

[Gere]

Schau mal im Skript auf Seite 108 Satz 5.19
und im Übungsskript die Aufgabe 7.10+Lösungen die is sicher nützlich für die Prüfung…

lg

[bananenneutrino]

@JakobM

Danke sehr euch beiden.

Also dh dann:

1., wahr (aber werde ich das alles beweisen müssen?)
Was mir klar ist is: detA≠0 ↔ RangA=n, denn wäre er kleiner wären zb in der letzten Zeile der Matrix nur Nuller und detA=0,
außerdem wenn KernA={0} gilt nach dimBildA+dimKernA=n dimBildA=n und BildA=R^n
dann RangA=n ↔ KernA={0}, denn Ax=0 kann nur die Lsg x_1=…=x_n=0 haben
und (ohne Beweis) RangA=n ↔ A ist invertierbar;
laut Definition ist eine Matrix regulär wenn es eine andere Matrix B (die Inverse) gibt mit AB=I, wobei I die Einheitsmatrix und es gilt A ist invertierbar ↔ A ist regulär, damit RangA=n ↔ A ist regulär

stimmt das überhaupt soweit?

=>
A invertierbar → A surjektiv → Im(A) = R^n

<=
Rang A = n → Im(A) = R^n ↔ A surjektiv
Rang A = n → Defekt A = 0 ↔ ker A = {0} → A injektiv
→ bijektiv, insbesondere invertierbar.

2., wahr (Begründung?)

Diagonalisierbar heißt, dass eine Basis gibt, bezüglich der die transformierte Matrix Diagonalgestalt hat. Gibt es eine solche, ist jeder der Basisvektoren trivialerweise Eigenvektor. Das charakteristische Polynom muss als Nullstellen die Einträge dieser Diagonalmatrix haben, sprich, die Einträge müssen die Eigenwerte sein. Daraus kann man ablesen, dass geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit sein muss.

Umgekehrt, hat die Matrix eine Eigenbasis, so kannst du sie bezüglich dieser transformieren, und nach Vorraussetzung muss diese Diagonalgestalt haben, wobei die Eigenwerte die Einträge in der Diagonale sind.

4., f. Gegenbeispiel
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
0 & 0
\end{pmatrix}
$
?
oder sollte man das eher auf eine wahre Aussage umstellen?

Ich geh schon davon aus, dass du dir das selbst durchdenk. Ich brauch für die Prüfung nicht lernen.

6., Stichwort Spektralsatz ^^

Same here. Den solltets ihr gemacht haben. (;

7., müsste doch falsch sein, denn wenn sie n verschiedene Eigenwerte hat ist zwar die algebraische Vfh jedes einzelnen Eigenwerts=1, aber die geometrische Vfh muss noch nicht gleich der algebraischen Vfh sein.
Habe allerdings kein Gegenbeispiel
edit:
ist richtig, denn die geometrische Vfh muss größer 1, aber kleiner der algebraischen Vfh sein, also in diesem Fall gleich 1 und, damit stimmt sie für jeden EW mit der alg. Vfh überein → Eigenbasis

• größergleich 1
  Ansonsten vollkommen richtig. Die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert \lambda ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums, da du n verschiedene Eigenwerte hast, deren zugehörige Eigenvektoren alle untereinander linear unabhängig sein müssen, hast du n Stück Vektoren, welche dir deinen ganzen Vektorraum aufspannen. Der Grad des Charakteristischen Polynoms ist n, jeder der n Eigenwerte ist davon Nullstelle, also muss die algebraische Vielfachheit für jeden auch 1 sein.

8.,
wieso sind denn die Eigenräume 1-dimensional? Wenn es mehrere l.u. EV zu einem EW gibt, dann müsste dieser doch die lineare Hülle aller EV sein und damit doch nicht eindimensional, oder?

Mein Fehler, ich hatte n verschiedene Eigenwerte im Hinterkopf. Im allgemeinen Fall ist die Antwort sowieso „falsch“.

[JakobM]

Danke erstmal für deine weitere Antwort.

4., Richtete sich auch eher an Menschen die vlt schon Erfahrung mit dieser Prüfung haben und vlt etwas dazu sagen können.

6., War einfach nur als Stichwort gemeint und dass ich mir den eben noch anseh ^^
Glaub allerdings nicht, dass der im Skriptum aufgeführt ist…
edit:
Ist natürlich vorgekommen!
Allerdings nicht unter diesem Namen sondern einfach unter: Kriterien für Diagonalisierbarkeit

7. natürlich größer gleich sonst macht das wenig Sinn :'D

Lg