Hallo! Ich weiß ja nicht ob sich wer näher damit befasst hat…
Es geht um dieses Bsp. mit der dielektrischen Kugel im Zentrum mit Radius r=a und der geladenen Kugelschale außerhalb mit r=2a.
die Angabe für die Ladungsdichte ist
\rho_f=\frac{\delta(r-2a)p\cos(\theta)}{8a^3}
d.h. man entwickelt dann das Potential nach Kugelflächenfunktionen Y_{lm}
Prof. Balasin hat dann aus den Randbedingungen die Gleichungen für die
Entwicklungskoeffizienten \alpha,\beta,\gamma,\delta abgeleitet und hat gesagt, dass sich da der \cos(\theta) rauskürzt was ich auch nachvollziehen kann.
schön und gut aber wenn ich das durchrechne bleibt bei mir aus der Bedingung
e_{r}^i(E_{+}^i-E_{m}^i)=\frac{4\pi p \cos(\theta)}{8a^3} an der Stelle r=2a
noch der Faktor von der Kugelflächenfunktion über \sqrt{\frac{4\pi}{3}}
d.h. ich bekomme \frac{2\delta}{8a^3}+\beta-\frac{2\gamma}{8a^3}=\frac{4\pi p}{8a^3}\sqrt{\frac{4\pi}{3}}
kann es sein dass er diesen faktor vergessen hat oder seh ich da was falsch?
Ich weiß nicht genau, was da im Plenum gekommen ist, aber ich denke mal nicht. Vermutlich hat er ja nicht in Kugelflächenfunktionen zerlegt (was nicht notwendig ist, wenn man keine Abhängigkeit vom Azimuthalwinkel hat), sondern in Legendrepolynome von \cos(\theta). Wenn man sowohl das Potential als auch die Ladungsverteilung in Legendrepolynome zerlegt sind die Vorfaktoren auf beiden Seiten gleich und daher egal. Das ist an und für sich sehr praktisch, aufpassen muss man nur, wenn man versucht, sich die Zerlegung über Fourierkoeffizienten (zB \rho_l(r) = \int_{-1}^1 P_l (\xi) \rho(\xi,r) d\xi) zu bestimmen, weil die Legendrepolynome anders normiert sind als die Kugeflächenfunktionen, aber in den real auftretenden Beispielen ist die Zerlegung meistens eh einfacher abzulesen als derart zu berechnen.
Hast wahrscheinlich recht! Mir bleibt der Faktor aber immer noch übrig aber egal…
Bei den anderen Übergangsbedingungen kürzt sich alles raus weil auf der rechten Seite null steht.
Ist aber ohnehin nicht so wichtig, is ja nur ein Faktor …