Fragen zum Kreuzerskriptum

Quantentheorie I
1

Seite 33, von (2.112) auf (2.115)

\left[ \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2 \xi \frac{\partial}{\partial \xi} + \lambda - 1\right] v(\xi) = 0

mit dem power series ansatz (Potenzreihenansatz?)

v(\xi) = \sum^{\infty}{\nu = 0} c{2\nu} \xi^{\nu}

komme ich also auf

\left[ \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2 \xi \frac{\partial}{\partial \xi} + \lambda - 1\right] \sum^{\infty}{\nu = 0} c{\nu} \xi^{2\nu} = 0

Erster Term (doppelte Ableitung)

\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} \sum^{\infty}{\nu = 0} c{\nu} \xi^{2\nu} = \frac{\partial}{\partial \xi} \sum^{\infty}{\nu = 0} 2\nu c{\nu} \xi^{2\nu - 1}

Substitution \nu = \nu + 1/2
\frac{\partial}{\partial \xi} \sum^{\infty}{\nu = 0} 2(\nu + 1/2) c{\nu + 1/2} \xi^{2\nu} = \sum^{\infty}{\nu = 0} 2\nu 2(\nu + 1/2) c{\nu + 1/2} \xi^{2\nu - 1}

Wiederum Substitution \nu = \nu + 1/2
\sum^{\infty}{\nu = 0} 2(\nu+1/2) 2(\nu +1/2 + 1/2) c{\nu +1/2 + 1/2} \xi^{2\nu} = \sum^{\infty}{\nu = 0} (2\nu+1) 2(\nu +1) c{\nu +1} \xi^{2\nu}

Zweiter Term (einfache Ableitung) wäre dann:

  • 2 \xi \frac{\partial}{\partial \xi} \sum^{\infty}{\nu = 0} c{\nu} \xi^{2\nu} = -2 \xi \sum^{\infty}{\nu = 0} 2\nu c{\nu} \xi^{2\nu - 1} = -4 \nu \sum^{\infty}{\nu = 0} c{\nu} \xi^{2\nu}

und somit hätte ich das gewünschte Ergebnis.
Aber, kann ich das einfach so rechnen, indem ich \nu quasi mit sich selbst substituiere?

2

Im Prinzip musst du nur ganz normal ableiten. Im ersten Term verschwindet der nullte Term der Summe. Damit man wieder die eine Potenzreihe kriegt, muss man den ersten Term uminidizieren. Warum du da s(j ← i+1) in zwei 1/2-Schritten machen willst ist mir nicht klar.

Ich habs im Attachment nochmal ausgeschrieben, falls irgendwas unklar ist.
Quantentheorie.jnt.pdf (71 KB)

3

Danke…
Naja, ich wills nicht machen, aber nach stundenlanger Denkerei ist mir einfach nichts besseres mehr eingefallen :unamused:

4

Ich hätte da auch eine Frage.

Auf Seite 109 im Skriptum werden nacheinander die Erwartungswerte von 1/r, 1/r² und 1/r³ aus dem Hut gezaubert, ich hab allerdings keinen Schimmer, wie man sich diese berechnen würde.
Vielleicht steh ich nur auf der Leitung, ich würd mich auf jeden Fall freuen, wenn irgendjemand hier eine schlaue Antwort auf diese Frage hätte.

5

Auf meiner Seite 109 (laut aktueller Kreuzer-Web-Version) steht ganz was anderes, was meinst du genau? Ich würde annehmen, man macht das übliche \int_v \psi^* \frac 1 {r^n} \psi d^3r.

6

Es ist schon Seite 109, die Seiten decken sich nur nicht mit der Gesamtseitenzahl.
Also wenn man von der Seitenummer ausgeht, die der Acrobat Reader zählt wäre das die 115.Seite auf der das stehen sollte. Es ist bei der Feinstruktur vom Wasserstoffatom.

7

Die Methode mit dem Integrieren funktioniert wahrscheinlich, die Wellenfunktion zum Wasserstoffatom ist halt ziemlich ungut. Ich dachte, dass es möglicherweise eine andere Methode gibt, die eleganter wäre.
Sollte es jemand nachgerechnet haben, wäre es auf jeden Fall interessant zu erfahren wie.
Ansonsten gehe ich mal einfach davon aus, dass ihn solche Sachen bei der Prüfung nicht interessieren. Hoff ich halt mal…[/quote]

8

Habe eine Frage zur zeitunabhängigen, nicht-entarteten Rayleigh-Schrödinger Störungstheorie.

Skriptum (neu) - Seite 105 … Anschreiben der SGL mit Taylorentwicklung:
Wie komme ich auf die rechte Seite von Glg. 6.6 → 6.7 ??

Danke!

9

Da wurde das Cauchy Produkt der beiden Summen gebildet, sprich sie wurden ausmultipliziert. Die Regel dazu gibts auf
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy_produkt.
Einfach ausrechnen und da bei Lambda das l wegfällt, kann man es vor die Summe über die ls ziehen.
Hoffe das hilft.

10

Danke!! Perfekt!

11

hat jemand explizit durchgerechnet wie man von den Koeff. A/B, C/A, (2.85, 2.86) zu den Absolutquadraten (2.87, 2.88) kommt? Ich komm da einfach auf keinen grünen Zweig bzw verrechne mich permanent…

12

Das ist im Anhang vom Burgdörfer Skriptum durchgerechnet, wenn ich mich nicht irre. Du kannst ja auf der Uni fragen ob es jemand dabei hat.

mfg Philipp

13

Ich habe ein prinzipielles Verständnisproblem.

(1) Es ist ja so, dass zwei nicht kommutierende Observablen gemäß Heisenbergscher Unschärferelation nicht gleichzeitig scharf gemessen werden können.

(2) Nun gibt es aber bei Drehimpulsen die Transformation mittels Clebsch-Gordan Koeffizienten von zwei separaten Drehimpulsen |l1,m1>, |l2,m2> auf bezüglich L^2 diagonale Zustandsvektoren |l,l1,l2,m>
Die Rücktransformation von |l,l1,l2,m> auf |l1,m1,l2,m2> ist ebenfalls möglich.
Also sind l,m, l1,m1 und l2,m2 alle gleichzeitig genau bestimmbar.

Allerdings kommutiert der L^2 Operator nicht mit z.B. L1_z

Wo liegt mein Denkfehler, wenn ich in dieser Tatsache einen Widerspruch zwischen (1) und (2) sehen würde?

14

Hm, die Transformation mittels Clebsch-Gordan ist ja nicht diagonal. Also zB
|1;0> = \frac{1}{\sqrt2}(|±> + |-+>)
Also kann man S-Quadrat und S1_z nicht gleichzeitig genau messen, da ja wie oben S=1, aber S1_z entweder +1/2 oder -1/2 ist.

Hoffe das hilft.

15

Zu den Erwartungswerten für \frac 1 {r^n} für das Wasserstoffatom nochmal: Es geht auch einfacher mit ein paar coolen Tricks aus der Störungstheorie. Ich hab’s im Shankar als Exercise 17.3.4 gefunden, ein einseitiges Paper dazu im American Journal of Physics ist zB hier, weiß nicht, wies mit anderen Quantenbüchern ausschaut.

Sehr coole Sache, kann ich nur sagen, auch wenns immer noch ein bisschen heftig ist, das Ganze während der Prüfung aus first principles zu produzieren.