Schaut sehr Methoden lastig aus. Habe erstmal nur das erste Beispiel gerechnet, die anderen schau ich am Mittwoch an. Wenn wer vergleichen will, ich bekomme für die 4 Vektoren von links nach rechts heraus: 3 ; 1 ;-2 ; 0
Kann natürlich sein dass ich mich verrechnet habe weil ich habs nur mal auf die schnelle gerechnet.
Das ganze unter der Annahme dass x=(x,y,z)
irgendwie steh ich bei Beispiel 1.4 auf der Leitung:
div \frac{\vec x}{\left|\vec x\right|} = \partial_i\frac{x_i}{\sqrt{x_jx_j}} = \frac{3\sqrt{x_jx_j} - x_i\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x_jx_j}}2x_i}{x_jx_j} = \frac{3\left|\vec x\right| - \frac{{\left|\vec x\right|}^2}{\left|\vec x\right|}}{{\left|\vec x\right|}^2} = \frac{2}{\left|\vec x\right|}
wo liegt mein Denkfehler?
Nirgends, denke ich.
Das sollte korrekt sein, bekomme jedenfalls auch das selbe raus.
lg, Markus
div\frac{\vec{x}}{\left |x \right |} = \partial_i \frac{x_i}{r} = (\partial_i x_i)\frac{1}{r} + x_i (\partial_i\frac{1}{r}) = \delta_i_i \frac{1}{r} - x_i \frac{1}{r^2} \frac{2\delta_i_j x_j}{2\sqrt{x_j x_j}} = \frac{3}{r} - \frac{r^2}{r^3} = \frac{2}{r}
Cool, mein erster Latex Versuch 
Ja ich glaub beim 1.4 hab ich mich verrechnet gehabt. 2/betrag schaut richtiger aus
und beim 2. Bsp. kommt bei mir a) rotF=0 raus, und bei b) muss
\ \large f(x) = \frac{\mid x\mid }{3}\ast {f}'(r)
sein.
habt ihr das auch?
Habe es mit negativem Vorzeichen…
…
|x| f’(r) + 3f(r) = 0 => f(r) = -|x|/3 f’(r)
wenn man weiterrechnet, bekommt man:
[f(r)= \frac{1}{r^{3}}]
Ja die lösung zu 2.b ist [\frac{1}{\left (\sqrt{\vec{x}\cdot \vec{x}} \right )^{3}}]
Kann ich ebenfalls bestätigen bei Bsp.2
Bsp.3:
Für den Fluß kommt mir \frac{a^2 \pi k}{3} raus, sowohl mit Flächenintegral als auch mit Gauß. Beim Gauß muß ich ja nur das Kegelvolumen hinschreiben, da die Divergenz vom gegeben Feld konstant 1 ist.
Das Kurvenintegral um den Basiskreis ergibt sich bei mir zu 2 \pi a^2, was sich mit Stokes ebenfalls wieder bestätigt.
Beim letzten Punkt hoffe ich, daß div und rot in Zyl.Koordinaten als bekannt vorrausgesetzt werden dürfen, oder sollen wir die etwa auch differentiell herleiten können? Konnte leider die VOs letzten FR und MO nicht besuchen, hat der Balazin da was gesagt dazu?
lg, Markuß
Bsp. 3 kommt mir das Gleiche heraus
Zu 1.4 nochmal eine kleine Frage:
im dritten Term steht am Schluss der Faktor 2x_i.
Das sieht zwar gut aus und passt wohl auch, ich weiß nur nicht wie man darauf kommt. Bzw. ich komme immer auf ein 2x_j 
Vielleicht kann mir jemand den dritten Term kurz erklären wie man dahin kommt?
Danke
Das stimmt auch, dass da zuerst ein 2x_j steht, allerdings in Verbindung mit einem \delta_{ij}, welches in Kombination dann natürlich entweder x_ix_i, oder x_jx_j ergibt.
Das stimmt auch, dass da zuerst ein > 2x_j > steht
hmm, das 2x_i ist ja nur die innere Ableitung unterm Wurzelausdrucks also \partial_i(x_jx_j). Wenn man sich einfach überlegt, das über die doppelt vorkommenden Indexe Summiert wird heist dass nix anderes als \partial_i(x_1^2+x_2^2+x_3^2) und da man es hier mit dem Ortsvektor \vec{x} zu tun hat wird immer nur die Ableitung des jeweils i-ten Elements einen Beitrag liefern also \partial_i(x_jx_j)=2x_i
Das 2x^j ist ebenfalls die innere Ableitung des quadratischen Teils des Wurzelausdrucks und das \delta_i^j ist wiederrum die innere Ableitung von \partial_i(x^jx^j). Etwas sauberer schaut das in Indexschreibweise eigentlich so aus:
\partial_i(x^jx^j)=2x^j\partial_ix^j=2x^j\delta_i^j=2x^i
Damit ich da jetzt keinen Blödsinn mache ne Frage zu 3d:
Um A in Zylinderkoordinaten zu erhalten muss ich zuerst die Zylinderkoordinaten ins Vektorfeld einsetzen und dann für die jeweilige Koordinate A-r A-phi A-z mit dem jeweiligen Einheitsvektor multiplizieren und diese Ausdrücke kommen dann in die transformierten ableitungsoperatoren oder?
habe damit auch so meine hrobleme. vielleicht kann jemand den lösungsweg skizzieren (grob oder genau gg), am besten zur ganzen 3 (2,1?)? oder einscannen (wenn’s zuviel schreibarbeit ist g)
Um A in Zylinderkoordinaten zu erhalten muss ich zuerst die Zylinderkoordinaten ins Vektorfeld einsetzen und dann für die jeweilige Koordinate A-r A-phi A-z mit dem jeweiligen Einheitsvektor multiplizieren und diese Ausdrücke kommen dann in die transformierten ableitungsoperatoren oder?
Genau so ist es, d.h.:
A in Zylinderkoord. aber mit kanon. Einheitsbasis beträgt: $\vec{A}\ =\ \begin{pmatrix}-r \sin(\phi) \ r \cos(\phi) \ z \end{pmatrix}$.
Nun denkt man sich A bzgl der Basis $\vec{e_r}, \vec{e_\phi}, \vec{e_z}$ dargestellt, d.h. $\vec{A}\ =\ A_r,\vec{e_r} + A_\phi,\vec{e_\phi} + A_z,\vec{e_z}$.
Für die Berechnung der Diveregenz und Rotation benötigt man nun die Koord. $A_r,\ A_\phi,, A_z$.
Um diese zu erhalten multipliziert man A einfach mit dem entsprechenden Basisvektor: $A_\phi\ =\ \vec{A} , \vec{e_\phi}\ =\ r$.
Ich hoffe das hilft…
thx für A-phi hab ich das gleiche raus bekommen, also war ich wohl am richtigen weg.
Was kommt euch denn raus für divA und rotA in Zylinderkoordinaten?