Punktladung in Materie bewirkt Polarisation derselben, sodass das Feld um \frac{1}{\varepsilon_r} gestärkt/geschwächt wird \Rightarrow \phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon r} oder was meinst du?
Also ich weiß ja nicht was ihr beim 1er gemacht habt, aber ich bekomm nichts sinnvolles heraus.
Für die Spiegelladung: siehe Bsp. III-14 aus 2005 (im PDF im Anhang), für die allg. Lösung hab ich mir einfach aus \bigtriangleup\phi = 0 was bei gegebener Symmetrie (nicht Zylinder, da keine Abh. in Zylinderachse) zusammengemurkst…
k03_L2.pdf (1.28 MB)
Oh danke, interessante Folien.
sowas ähnliches (nur kein (a^2)/R_0 da check ich nicht wie er da drauf kommt) hatte ich auch, nur bin damit nicht wirklich sinnvoll weiter gekommen, aber scheinbar ist es wohl garnicht mehr als das.
Bei der Laplace Gleichung bin ich beim bestimmen der Konstanten hängen geblieben. die konstante vor r^{-\lambda } habe ich 0 gesetzt unter der behauptung, dass das potential bei r=0 regulär sein soll. Als ich dann das potential bei r=a 0 gesetzt habe wurde es unschön, da ja beide schwingungsterme erhalten bleiben. Ich vermute man muss einfach beide mal mit mit der jeweils gleichen funktion überlagern (sinus mit sinus und cosinus mit cosinus, sinus mal cosinus wird ja immer 0 in dem fall) und daraus koeffizienten bestimmen, aber hab das noch nicht getestet.
Also nach einigem herumgepfusche mit Folgen und Koeffizientenvergleich hab ichs vermutlich gleich gelöst. Allerdings habe ich die Ladungsdichte nicht als unbekannte sondern als bekannte genommen (was bei spiegelladung in dem fall ja notwendig is und bei dem Koeffizientenvergleich der unendlichen Reihe ergibt sich das Tau von alleine. Ich werds jetzt nochmal mit möglichst wenig chaos durchrechnen und schaun obs wirklich stimmt.
OK 1 a wäre gelöst. Die allgemeine Lösung für die Laplacegleichung sind ja:
C_{1}r^{\lambda }+C_{2}r^{-\lambda }=R(r)
und für den Winkel Teil die übliche linearkombination aus sinus und cosinus.
bei r^{-\lambda } muss die Konstante 0 sein da am Nullpunkt keine Ladungen existieren. Weiters bildet sich durch die Lambdas eine Summe von 0 bis unendlich (siehe methoden skript seite 85 mit Lambda=n).
Diese Lösung setzt man nun in die die Summe der Potentiale + Konstante (Angabe) ein und betrachtet den Fall r=a wo V=0 ist. Aus dem ln der linienladung muss man noch das a^2 heraus heben damit man den ln in die Summe umschreiben kann, und nun vergleicht man die koeffizienten. Anschließend kann man in der Lösung die Summe auch in einen ln umschreiben, und hebt noch ein paar dinge heraus bzw zieht die konstante hinein bis man auch auf einen ausdruck im ln kommt welcher wie ein betrag aussieht.
Das Potential wird zu:
V(x^{k})=-2\tau ln(\left|\vec{r}-\vec{R_{0}}\right|)+2\tau ln(\left|\vec{r}-\vec{r_{0}}\right|)+2\tau ln(\frac{R_{0}}{a})
r_{0}=\frac{a^{2}}{R_{0}}
Erstmal Danke Lelouch für das Reinstellen deines Ansatzes für 1, aber die vollständige Lösung der Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten lautet doch: u(r,\phi )=A ln r + B+ \sum_{n=1}^{\infty }(A_nr^n+B_nr^{-n})(C_n cos(n\phi)+D_nsin(n\phi)). Koeffizienten B werden null, aber der ln vorne bleibt doch, oder? Hab ich dann nicht zu viele Konstanten zum Bestimmen der vollständigen Lösung? Hab ja nur eine RB.
Beiß mir schon länger daran die Zähne aus. Dein Ansatz sieht gut aus, nur ich weiß nicht, mit welcher Argumentation der ln zum Verschwinden zu bringen ist.
Ja du hast vollkommen recht mit dem ln, aber wegen der Forderung dass das Potential bei r=0 regulär sein muss folgt dass die Konstante vor dem ln (bei dir A) 0 sein muss. Genau das gleiche Argument greift auch für die B_n.
#-o stimmt genau. Sollt das nächste Mal vielleicht doch noch ein bisschen länger nachdenken, bevor ich was schreib. Vielen Dank für den Hinweis.
hallo
wie komme ich eigentlich auf mein ro?
Ich habe einfach nacheinander aus dem ln vom phi_2 terme (R^2 ; 1/a^2) rausgezogen bis ich nen entsprechenden betrags(quadrat) ausdruck dort stehen hatte (R=R_0):
r^{2}+\frac{a^{4}}{R^{2}}-2\frac{ra^{2}}{R}cos\varphi
und daraus konnte ich dann das r_0 definieren.