Beispiel 30:)
Da Beobachter 2 sich nicht in z-Richtung bewegt, kann man das Ganze als zweidimensionales Problem in der x-y-Ebene betrachten. Das von Beobachter 1 ausgesandte Licht breitet sich also kreisförmig aus:
x^2 + y^2 = r^2, wobei r = ct die Entfernung des Lichtsignals zum Sender (Beobachter 1) darstellt.
Daraus folgt:
x^2 + y^2 = c^2 t^2
Setzt man für x und y die jeweiligen Komponenten von x^{\mu} ein, so erhält man:
\frac{1}{4 \alpha^2}cos^2(\alpha t) + \frac{1}{4 \alpha^2}sin^2(\alpha t) = c^2 t^2
t = \frac{1}{2 \alpha c}
Zur Frequenzverschiebung:
Da die Ausbreitungsrichtung radial und damit normal zur Bewegungsrichtung des bewegten Systems ist, gilt \widetilde{\omega} = \omega \gamma (Skript S. 143 Glg. 66).
Wir brauchen also die Geschwindigkeit v um uns \gamma ausrechnen zu können.
Damit die Weltlinie den von uns festgelegten Konventionen x^{\mu} = (ct, x, y, z) entspricht, habe ich die gegebene Bahnkurve mit c multipliziert:
x^{\mu} (ct) = (ct, \frac{c}{2 \alpha} cos(\alpha t), \frac{c}{2 \alpha} sin(\alpha t), 0)
Diese Kurve ist offensichtlich äquivalent aber leichter zu behandeln.
Aufgrund von Seite 113 Glg 37 gilt: \vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}).
Damit ist der Dreiervektor der Geschwindigkeit \vec{v} = (\frac{c}{2}(-sin \alpha t), \frac{c}{2}cos \alpha t, 0) und somit v = \frac{c}{2}.
div D = 4 \pi \cdot \rho_{frei}
D= \varepsilon \cdot E
Wenn man noch zeigt das das aus D berechnete E-Feld rotations frei ist, ist man fertig. Sollte in 4 Zeilen machbar sein, bin im Moment zu faul es exakt zu schreiben, will noch das 28 rechnen.
28: Laut Balasin sollte man \rho nach den P_l entwickeln und dann die Bereiche r>2a , 2a> r > a , a > r getrennt aufstellen und mit Maxwellgleichungen und Stetigkeitsbedingung für E / D berechnen.
wäre es bei bsp 30 nicht besser x^\mu=(ct,\frac{1}{2\alpha}cos(\alpha ct),… zu setzen, dann würden auch theoretisch die einheiten nach dem 2ten mal ableiten(beschleunigung) stimmen, wenn [\alpha]=\frac{1}{m} wäre.
oder mit c=1, aber darf man c einfach dazu multiplizieren?
Es gibt 2 Konventionen, eine ist x^{\mu} = (ct, x, y, z) und die andere x^{\mu} = (t, \frac{x}{c}, \frac{y}{c}, \frac{z}{c}).
In der Angabe wurde die zweite verwendet, im Skript die erste. Umrechnung erfolgt klarerweise über Multiplikation mit c.
Ob man die Funktionsargumente auch annpassen muß. muß ich mir noch überlegen, aber Dein Einwand hat was für sich …
Vermutlich ist es am besten, mit c=1 zu rechnen, da schleichen sich am wenigsten Fehler ein.
übrigens, falls noch nicht in den tutorien gezeigt (war nicht da), geht der erste teil von bsp. 30 etwas eleganter.
Die Ausbreitung einer Kugelwelle vom Ereignis y^\mu wird durch das Verschwinden des Minkowski-Norm beschrieben:
||x^a - y^a|| = (x_\mu - y_\mu)(x^\mu - y^\mu) = 0
Das Einsetzen des Nullereignisses y^\mu = 0 für des Ursprung ergibt:
-t^2 + \left(\frac1{2\alpha}\right)^2 \left(\cos^2\alpha t + \sin^2\alpha t\right) = 0 \quad\rightarrow\quad t = \frac1{2\alpha}