Kann mir mal kurz wer erklären, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, einen bestimmten Eigenwert zu messen?
Ich weis, dass klingt eigentlich total grundlegend, aber wo liegt der Unterschied zwischen Bsp 1.a aus der 9.Übung und dem Bsp 1.b aus der 11.Übung? Ich würd nämlich gern wissen, warum man bei dem Bsp aus der 9.Übung das Betragsquadrat auf jeden Term einzeln anwendet und bei dem Bsp aus der 11.Übung, in dem der Zustand in die andere Basis entwickelt wird das Betragsquadrat auf den gesamten Ausdruck wirkt?
Je nachdem kommt etwas anderes heraus!
Weil beim 11er L_x gefragt ist und damit wir L_x auf den Zustand anwenden können müssen wir L_x in der z-Basis darstellen da die ganzen Eigenfunktionen ja bezüglich der z-Basis sind.
Beim 9er ist der projektor für die energie bereits z-basis aber er ist halt eine summe da sich der projektor halt aus allen möglichen zuständen für diese energie zusammensetzt.
ne…warte kurz ich schreibs dir auf!
[P(E_{2})=\left | < 2lm\left | \psi > \right |=1/20 *(3+7+2)]
Müsste es nicht heißen:
[P(E_{2})=\left | < 2lm\left | \psi > \right |=1/20 *\left | \sqrt{3}+\sqrt{7}-(i+1)) \right |^{2}]
also ich hab das eigentlich mit der form <\Psi |P|\Psi >=W gemacht und da bekommst du dann eben dieses \frac{3+2+7}{20} heraus.
Das ist ja das Selbe!
Aber ist es nicht so, dass sich die Projektoren von den Unterräumen addieren? Das würde klären, warum sich das Betragsquadrat nur auf die einzelnen Terme bezieht!
Aber im Fall, dass man einen einzelne Zusand in einer anderen Basis darstellt, bleibt das Betragsquadrat über allen Termen bestehen!
mmh…die QM macht mich schon total schummrig 
ja es ist zwar das gleiche aber wenn man die Funktion von beiden seiten drauf wirken lässt kommt eben genau diese form heraus. Wenn man das mim betrag anschreibt müsste man eigentlich den ganzen haufen nochmal zum betrag machen (wie bei deiner 2ten zeile) da die bra-ket’s sich alle zu 1 oder 0 zusammen fassen. Keine Ahnung gerade eigentlich. Bei der 11er hab ich das mim betragsquadrat gemacht weil es so einfacher war und bei der 9er halt mim projektor und hatte dabei keinerlei probleme.
die Überlegung ist wahrscheinlich:
\sum <\Psi |nlm><nlm|\Psi >=\sum |<nlm|\Psi >|^{2}
also die Summe des Projektors nicht in das betragsquadrat mit hinein zu nehmen.
so schaut es zumindest in den lösungen auf der quanten seite aus. wie gesagt wenn dus normal mit dem projektor machst hast du dieses problem garnicht.
ok ich habe die jetzt beide nochmal gerechnet und glaub ich verstehe jetzt was da los ist.
Bei dem früheren Beispiel hast du einen fertigen Projektor dort stehen, da kannst du die Summe aus dem Produkt rausziehen und bekommst Betragsquadrate von einzelnen Ausdrücken.
Bei dem Beispiel aus der 11er ist dein Projektor der Eigenvektor des Eigenwertes. Diesen stellst du nun in der z-Basis da, aber wenn du dort die <\Psi |k><k|\Psi > Form verwenden würdest, wobei dein |k> dann auf die z-Eigenvektoren umgeschrieben wird (3 Komponenten) darfst du nicht vergessen die Klammern beim Projektor sauber auszumultiplizieren damit du den Projektor in der z-Basis erhaltest. Also nicht nur |1> mit <1| sondern |1> mit <1| <2| und <3|. Um dir diese Arbeit zu ersparen schreibst du es einfach auf die Betragsquadrat Form um und musst die Zustände nur einmal auswerten. Es ergibt sich wirklich von selber wenn man es hinschreibt.
Hierbei ist |k> ja jetzt etwas in der Form
|k>=a|1>+b|2>+c|3>
Überholt euch nicht selber und schreibt das doch einfach mal langsam an:
Allgeimein berechnet man die Wahrscheinlichkeit einen best Messwert zu messen wie folgt:
Wh(A=a)=<\psi|P|psi>=<\psi|\Sigma_i |e_i><e_i|\psi>=\Sigma_i <\psi|e_i><e_i|\psi>=\Sigma_i \left|<e_i|\psi>\right|^2
Dabei sind die |e_i> jene Eigenvektoren des Operators A, deren Eigenwert den Wert a haben.
Zu Übung 9, Bsp 1:
Gesucht war die Wahrscheinlichkeit die Energie E_2 zu messen, das heißt n=2.
Der Projektor ist also:
P=\Sigma_{lm}|2lm><2lm|
weil die Energie ja nicht von l und m abhängt. Die l, m sind aber nicht frei, sondern in jedem Term der Summe fix!, also
P=|200><200|+|210><210|+|21-1><21-1|+…
das müsste man jetzt auf \psi wirken lassen. Dann bekommt man:
Wh(E=E_2)=\Sigma_{lm}\left|<\psi|2lm>\right|^2=\Sigma_{lm}\left|A(2<100|+\sqrt{3}<210|+…)|2lm>\right|^2
Wh(E=E_2)=A^2\Sigma_{lm}\left|(2<100||2lm>+\sqrt{3}<210||2lm>+…)\right|^2
Wh(E=E_2)=A^2\Sigma_{lm}\left|(2<100||2lm>+\sqrt{3}<210||2lm>+…)\right|^2
Wh(E=E_2)=A^2\Sigma_{lm}\left|(2\delta_{l,0}\delta_{m,0}+\sqrt{3}\delta_{l,1}\delta_{m,0}+…)\right|^2
Wh(E=E_2)=A^2(|2|^2+|\sqrt{3}|^2+…)
Es trifft ja immer nur EINE Forderung der Deltafkts zu, bevor das nächst Summenglied kommt!
Vergleiche
\Sigma_i i^2\neq (\Sigma_i i)^2