Bei Bsp 1 weiß ich nicht wirklich was ich machen soll. hat hier schon irgendwer etwas?
Bei Bsp 2 bekomme ich 0 für den Erwartungswert von L^2 und 3h für Lz. allerdings bin ich mir auch hier nicht sicher. L^2 könnte auch 12h sein
Bei b ist der Erwartungswert 0 für Ly.
Bei Bsp 3: Kommt mir Lz=h/i*dphi heraus.
Ich habe aber keine matrix berechnet so wie das heute im plenum gezeigt wurde sondern einfach die Operatorne von Seite 130 im Skriptum eingesetzt!
bsp 1:
Lx kann man sich durch L+ und L- ausdrücken und zwar so: Lx=((L+)+L-)/2
dann kann man Lx einfach auf den zustand |l,m> anwenden. wie wir in der VO gezeigt haben bringt uns L+ eine stufe die leiter rauf, L- eine runter. dh. (L+)|l,m>=C|l,m+1> wobei C eine konstante is, die man dann noch bestimmen muss.
bei mir: C=hquer*sqrt(l(l-1)-m(m+1))
analog für L-
naja und damit hat man dann die wirkung von Lx auf |1,-1>, |1,0> u. |1,1>
punkt b) ist dann ganz einfach ein eigenwert bsp in der form vom 4. testbsp.
bei bsp 2 hab ich andere ergebnisse, und zwar:
<L²>=12*(hquer)²
=hquer/2
für hab ich auch 0
bei 3b hab ich einfach x=phi gesetzt, dann ist der rest eigentlich ziemlich einfach, wobei ich mir da nicht ganz sicher bin.
naja ich sag ja (L+)|l,m>=C|l,m>
also ist <l,m|(L-)(L+)|l,m>=C²<l,m|l,m>=C²
wobei ich einfach die auf beiden seiten die norm gebildet hab.
dann noch (L-)(L+)=L²-(Lz)²-hquer*Lz einsetzen (siehe skriptum seite 125), dann kann man die linke seite auflösen
Lz|3,2>=2hquer|3,2> und Lz|3,-1>=-hquer|3,-1>
also 2hquer-hquer=hquer , inklusive vorfaktor kommt dann hquer/2 raus.
oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
naja m=0 heisst halt dass es sich um den zustand |l,0> handelt. das hat ja erstmal gar nichts mit dem erwartungswert für Lz zu tun.
z.b. wenn ich |1,1> u |1,-1> superpositioniere dann ist =0, was ja m=0 entsprechen würde, jedoch handelt es sich ja nur um den erwartungswert, wenn ich konkret Lz messen würde, wäre es entweder hquer oder -hquer sein.
d.h. m=0 ist für jede superposition möglich, die einen zustand mit m=0 enthält, zb. |1,0>+|1,1>
so denke ich mir das zumindest
Warum der vorfaktor zum Quadrath ? - es wird nur addiert, oder?
auch addieren sich die zustände nicht sondern sie subtrahieren sich- 2 mal Minus - deshalb bekomme ich 3hquer/wurzel(2).
der vorfaktor ist zum quadrat weil man ihn beim erwartungswert einmal im ket und einmal im bra hat.
die zustände subtrahieren sich zwar, aber man hat ja beim erwartungswert immer bra*ket, wodurch sich das minus beim 2. zustand aufhebt.
wenn du dir das ganze graphisch ansiehst, siehst du übrigens gleich, dass es hquer/2 sein muss.
so daraus kann einfach eine MAtrix gebildet werden wir haben 3 mögliche m zustände -1,0,1 die man mithilfe einer 3x3 matrix aufschreiben kann… zb kann man |l,1> mit e1 assoziieren… |l,0> mit e2 und |l,-1> mit e3
der L_x-Operator hat also ne 3x3 gestallt mit 4 einträgen ( jeweils 4x1 falls man die vorfaktoren raushebt, für das EWP sollten diese jedoch in die matrix eingestzt werden) bei jeweils M_{12}, M_{21}, M_{23} und M_{32}
Berechnet man das EWP dann sind die ergebnisse so wie bei Lz 0, +h und -h
die eigenzustände von Lx müssen noch normiert werden aber das is ja scho gut bekannt
kann mir mal jemand sagen, wie ich 3a am besten mache?
so wie ers in der vorlesung erklärt hat, krieg ichs irgendwie nicht hin.
vor allem: im skriptum im anhang (seite 206) steht, dass man einfach die matrix M mit (dx,dy,dz)=M(dr,dtheta,dphi), invertieren muss, ist ja auch logisch, dann steht da aber auch noch dass die inverse gleich der transponierten ist.
dass verstehe ich nun aber überhaupt nicht, denn woher kommt dann dieser faktor 1/r bzw 1/rsintheta ?
Das die invertierte Matrix gleich ihrer transponoerten ist gilt nur für othogonale Matrizen, diese ist aber nicht orthogonal, somit gilt das auch nicht, oder?!?!
den hamiltonoperator durch phi ausdrücken ist damit gemeint nur das dx zu ersetzen?
muss man dann eigentlich alles neu rechnen um auf die wellenfkt zu kommen oder reicht es bei der lösung das x durch phi zu ersetzen und L durch 2*pi??
damit die matrix ortthogonal wird muß man den Maßtensor für… D.19 berücksichtigen!
dh. gemäß D.23 D.24 D.25 in der zweiten zeile r _ und in der dritten rsin(deta):
der vektor rechts von M wird dann (dr , r*dDETA , r sinDETA dPHI)
dann wird auch D.12 D.13 D.14 klar
(alles Anhang D)
ich hoffe das stimmt so!! (sorry ich dacht es geht auch ohne greek )
und wie genau berücksichtige ich ihn?
also dass die matrix einfach transponiert wurde, nur dann die 1. zeile durch U die 2. durch V und die dritte durch W dividiert wurde, ist mir schon klar. was ich nicht nachvollziehen kann ist warum man das genau so macht.
EDIT: ok, glaub ich habs grad kapiert.