2. Edyn Test

[Natty_Dread]

Hey, ich dachte mir es wäre ganz nützlich Ideen für potentielle Theorie-fragen für den zweiten Test zu sammeln.

Meine Vorschläge wären:

Test vom 24.06.11:

Bsp 1:
Weisen Sie die Quellfreiheit des magnetischen Feldes, unter Benutzung des Biot-Savart’schen
Ausdrucks für das Magnetfeld B^i(x^k) in Abhängigkeit von der Volumenstromdichte J^i(x^m), nach.

Bsp 2:
Zeigen Sie, dass die stationäre (zeitunabhängige) Kontinuitätsgleichung eine direkte Konsequenz des Ampèr’schen Gesetzes zwischen Magnetfeld B^i(x^k) und Volumenstrom J^i(x^k) darstellt.

In der VO hat der Balasin auch einige Male erwähnt, dass der Eindeutigkeitssatz (des Potentials) sehr wichtig ist. Der Beweis ist nur einige Zeilen lang und würde sich daher, m.M.n., gut für den Test eignen.

Hat jemand andere Ideen?

[ppp]

Weiß jemand zufällig was beim zweiten 2009er-Test Beispiel 3a herauskommt bzw. gibt es für den Test irgendwo Lösungen?

[Angelus_Pacis]

Zu Bsp 1: Ist das wirklich nur ein Einzeiler oder mache ich da was falsch? Also einfach divB=0 ins Biot-Savart’sche Gesetz einsetzen und fertig? Und dafür gibts 30 Punkte? Das kann nicht sein…

[Vitronius]

Hallo,

also du formst den Biot-Savart-Ausdruck so um, dass du eine Ableitung darin hast, und die ergibt dann mit dem Epsilon-Tensor gemeinsam die Beziehung, dass das B-Feld als Rotor eines Vektorpotentials A geschrieben werden kann. Und auf diesen Ausdruck wendest du dann nochmals ein di an, sodass sich mit „symmetrisch mal anti-symmetrischen Tensor = 0“ das Gesuchte ergibt.

[nieka14]

Wie lautet die Antwort auf die zweite Frage? Bzw hat er das schon in der VO gemacht?

Mein Ansatz wäre ja, da die Divergenz der Volumsstromdichte null sein soll (stationäre Kontinuitätsgleichung), und man mittels Ampere’schen Gesetz den Zusammenhang zwischen Magnetfeld und Volumsstromdichte kennt, einfach die Divergenz beim Ampere’schen Gesetz rechts und links anwenden. Da wir ja wissen, dass die Divergenz des Magnetfeldes 0 ergibt, muss auch die rechte Seite, also die Divergenz der Volumsstromdichte, null sein. Ist glaub ich sehr unsauber, aber so muss es doch klappen, oder?

[ppp]

@nieka14

Wie lautet die Antwort auf die zweite Frage? Bzw hat er das schon in der VO gemacht?

Mein Ansatz wäre ja, da die Divergenz der Volumsstromdichte null sein soll (stationäre Kontinuitätsgleichung), und man mittels Ampere’schen Gesetz den Zusammenhang zwischen Magnetfeld und Volumsstromdichte kennt, einfach die Divergenz beim Ampere’schen Gesetz rechts und links anwenden. Da wir ja wissen, dass die Divergenz des Magnetfeldes 0 ergibt, muss auch die rechte Seite, also die Divergenz der Volumsstromdichte, null sein. Ist glaub ich sehr unsauber, aber so muss es doch klappen, oder?

Den Satz von Stokes würde ich da dazwischen noch beim B-Feld anwenden, dann hast du auf beiden Seiten jeweils ein Flächenintegral. Die kannst du dann nach Anwenden der Divergenz vergleichen.

[nieka14]

@ppp

@nieka14

Wie lautet die Antwort auf die zweite Frage? Bzw hat er das schon in der VO gemacht?

Mein Ansatz wäre ja, da die Divergenz der Volumsstromdichte null sein soll (stationäre Kontinuitätsgleichung), und man mittels Ampere’schen Gesetz den Zusammenhang zwischen Magnetfeld und Volumsstromdichte kennt, einfach die Divergenz beim Ampere’schen Gesetz rechts und links anwenden. Da wir ja wissen, dass die Divergenz des Magnetfeldes 0 ergibt, muss auch die rechte Seite, also die Divergenz der Volumsstromdichte, null sein. Ist glaub ich sehr unsauber, aber so muss es doch klappen, oder?

Den Satz von Stokes würde ich da dazwischen noch beim B-Feld anwenden, dann hast du auf beiden Seiten jeweils ein Flächenintegral. Die kannst du dann nach Anwenden der Divergenz vergleichen.

Das war der Schritt, der mir noch gefehlt hat! Vielen Dank!

[Stonefred]

@Vitronius

Hallo,

also du formst den Biot-Savart-Ausdruck so um, dass du eine Ableitung darin hast, und die ergibt dann mit dem Epsilon-Tensor gemeinsam die Beziehung, dass das B-Feld als Rotor eines Vektorpotentials A geschrieben werden kann. Und auf diesen Ausdruck wendest du dann nochmals ein di an, sodass sich mit „symmetrisch mal anti-symmetrischen Tensor = 0“ das Gesuchte ergibt.

Stimmt das so?

Der Biot-Savart-Ausdruck wird umgeformt:
B^i(x^m) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x’ \epsilon_{ijk} \frac{J^j(x’^m) (x^k - x’^k)}{|x^m - x’^m|^3}
B^i(x^m) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x’ \epsilon_{ijk} J^j(x’^m) (- \partial_k) \frac{1}{x^m - x’^m}

Mit dem Vektorpotential
A^j(x^m) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x’ \frac{J^j(x’^m)}{|x^m - x’^m|}

kommt man zu
B^i(x^m) = \epsilon_{ijk} \partial_j A^k(x^m).

Das ganze abgeleitet ergibt
\partial_i B^i(x^m) = \epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j A^k (x^m)
\partial_i B^i(x^m) = - \epsilon_{jki} \partial_j \partial_i A^k (x^m) = 0.

(beziehungsweise \partial_j \partial_i als \delta_{ji}, dann gelangt man zu deiner Argumentation „symmetrisch mal anti-symmetrischen Tensor = 0“)

Damit ist man am Ziel:
\partial_i B^i = 0

[nieka14]

@Stonefred

@Vitronius

Hallo,

also du formst den Biot-Savart-Ausdruck so um, dass du eine Ableitung darin hast, und die ergibt dann mit dem Epsilon-Tensor gemeinsam die Beziehung, dass das B-Feld als Rotor eines Vektorpotentials A geschrieben werden kann. Und auf diesen Ausdruck wendest du dann nochmals ein di an, sodass sich mit „symmetrisch mal anti-symmetrischen Tensor = 0“ das Gesuchte ergibt.

Stimmt das so?

Der Biot-Savart-Ausdruck wird umgeformt:
B^i(x^m) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x’ \epsilon_{ijk} \frac{J^j(x’^m) (x^k - x’^k)}{|x^m - x’^m|^3}
B^i(x^m) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x’ \epsilon_{ijk} J^j(x’^m) (- \partial_k) \frac{1}{x^m - x’^m}

Mit dem Vektorpotential
A^j(x^m) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 x’ \frac{J^j(x’^m)}{|x^m - x’^m|}

kommt man zu
B^i(x^m) = \epsilon_{ijk} \partial_j A^k(x^m).

Das ganze abgeleitet ergibt
\partial_i B^i(x^m) = \epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j A^k (x^m)
\partial_i B^i(x^m) = - \epsilon_{jki} \partial_j \partial_i A^k (x^m) = 0.

(beziehungsweise \partial_j \partial_i als \delta_{ji}, dann gelangt man zu deiner Argumentation „symmetrisch mal anti-symmetrischen Tensor = 0“)

Damit ist man am Ziel:
\partial_i B^i = 0

Jap, so hat er es auch in der Vorlesung gemacht!

[jun]

also ich denk auch, dass sowas zum theorieteil kommt.
aber was kommt zum rechnen?
in der fragensammlung ist ein beispiel mit einem dielekrischen zylinder im äußeren feld und man soll sich über die allgemeine lösung der laplace-gleichung das e-feld ausrechen.
hat sich das wer vielleicht schon angeschaut?

[Stonefred]

@ppp

@nieka14

Wie lautet die Antwort auf die zweite Frage? Bzw hat er das schon in der VO gemacht?

Mein Ansatz wäre ja, da die Divergenz der Volumsstromdichte null sein soll (stationäre Kontinuitätsgleichung), und man mittels Ampere’schen Gesetz den Zusammenhang zwischen Magnetfeld und Volumsstromdichte kennt, einfach die Divergenz beim Ampere’schen Gesetz rechts und links anwenden. Da wir ja wissen, dass die Divergenz des Magnetfeldes 0 ergibt, muss auch die rechte Seite, also die Divergenz der Volumsstromdichte, null sein. Ist glaub ich sehr unsauber, aber so muss es doch klappen, oder?

Den Satz von Stokes würde ich da dazwischen noch beim B-Feld anwenden, dann hast du auf beiden Seiten jeweils ein Flächenintegral. Die kannst du dann nach Anwenden der Divergenz vergleichen.

Ich versuche das mal nachzuvollziehen:

Ausgehend vom Ampèreschen Gesetz in Integralform
\oint_C B^i , ds^i = \mu_0 I mit I = \int_S J^i , d^2 f^i kommt man zu
\oint_C B^i , ds^i = \mu_0 \int_S J^i , d^2 f^i

Jetzt wende ich den Satz von Stokes auf \oint_C B^i , ds^i an:
\int_S \epsilon_{ijk} \partial_j B^k , d^2 f^ i= \mu_0 \int_S J^i , d^2 f^i

Einmal ableiten führt zu
\epsilon_{ijk} \partial_j B^k = \mu_0 J^i

und ein weiteres mal ableiten zu
\epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j B^k = \mu_0 \partial_i J^i

• \epsilon_{jik} \partial_j \partial_i B^k = \mu_0 \partial_i J^i.

Hier also der selbe Trick wie beim ersten Beispiel: Symmetrischer mal antisymmetrischer Tensor = 0:
\partial_i J^i = 0

[nieka14]

Auch interessant wäre die Frage ob ihr alles lernt was seit dem zweiten Test gemacht worden ist, oder getrost ein paar Kapitelchen spritzt? Als Beispiel würden mir hier die Multipole einfallen … #-o (Bezieht sich natürlich auf den Rechenteil)

@Stonefred: Genau so würde ich es machen!

[Natty_Dread]

@Stonefred

Ausgehend vom Ampèreschen Gesetz in Integralform
\oint_C B^i ds^i = \mu_0 I mit I = \int_S J^i d^3 x kommt man zu
\oint_C B^i ds^i = \mu_0 \int_S J^i d^3 x.

Jetzt wende ich den Satz von Stokes auf \oint_C B^i ds^i an:
\int_S \epsilon_{ijk} \partial_j B^k d^3 x = \mu_0 \int_S J^i d^3 x

Der Satz von Stokes erhöht die Dimension des Integrals doch nur um eins, oder nicht?
Wie kommst du damit von einem Linienintegral auf ein Volumsintegral?
Außerdem hast du auf der Linken Seite ein Skalar, aber auf der Rechten Seite einen Vektor stehen. Irgendetwas passt da nicht

EDIT:

Der Fehler war, dass die Volumenstromdichte ja derjenige Strom ist, der pro Zeiteinheit eine Fläche durchquert, und kein Volumen.
Es müsste also folgendes da stehen:

Ausgehend vom Ampèreschen Gesetz in Integralform
\oint_C B^i , ds^i = \mu_0 I > mit > I = \int_S J^i , d^2 f^i > kommt man zu
\oint_C B^i , ds^i = \mu_0 \int_S J^i , d^2 f^i

Jetzt wende ich den Satz von Stokes auf > \oint_C B^i , ds^i > an:
\int_S \epsilon_{ijk} \partial_j B^k , d^2 f^ i= \mu_0 \int_S J^i , d^2 f^i

[Stonefred]

[quote=„Natty_Dread“]Der Fehler war, dass die Volumenstromdichte ja derjenige Strom ist, der pro Zeiteinheit eine Fläche durchquert, und kein Volumen.

Danke! Hab mich so sehr auf den Beweis konzentriert, dass ich solche Dinge gar nicht beachtet habe.

Hab das in meinem ursprünglichen post ausgebessert, damit das niemand aufs versehen abschreibt!

[claus]

@nieka14

Auch interessant wäre die Frage ob ihr alles lernt was seit dem zweiten Test gemacht worden ist, oder getrost ein paar Kapitelchen spritzt? Als Beispiel würden mir hier die Multipole einfallen … #-o (Bezieht sich natürlich auf den Rechenteil)
…

Würd ich nicht. Afaik ist bei uns damals ein Bsp gekommen - und so schwer sind die ja nicht

lg

[wiseman]

@jun

in der fragensammlung ist ein beispiel mit einem dielekrischen zylinder im äußeren feld und man soll sich über die allgemeine lösung der laplace-gleichung das e-feld ausrechen.
hat sich das wer vielleicht schon angeschaut?

das würd’ mich auch brennend interessieren, ich komm da einfach auf nix!

[Natty_Dread]

Hat jemand vllcht Bsp 3 von dem Test aus 2011 schon gerechnet?

Wie beeinflusst die Ladung auf der Kugel die Rechnung?

[wiseman]

@Natty_Dread

Hat jemand vllcht Bsp 3 von dem Test aus 2011 schon gerechnet?

Wie beeinflusst die Ladung auf der Kugel die Rechnung?

also wenn ich das richtig verstehe, beeinflusst die Ladung der Kugel die Spiegelladung gar nicht, das Außenfeld berechnet sich dann mit q, q’ an den jeweiligen Positionen + einer Punktladung Q im Mittelpunkt der Kugel…

[Max_gain]

Bei Beispiel 3 von 2011 setzt sich das potential wie folgt zusammen:
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}[\frac{q}{|x^{m}-x_{1}^{m}|}+\frac{q’}{|x^{m}-x_{2}^{m}|}+\frac{Q-q’}{r}] die Ladung Q-q’ sitzt also im Ursprung! Und q’ hat das umgekehrte Vorzeichen von q hat! Wenn man sich die Flächenladungsdichte berechnet und drüber integriert bekommt man genau die gewünschte Gesamtladung Q der Kugel!
es steht auch irgendwo im Polack!

[Natty_Dread]

Hier ist Bsp 3 a) von 2011

Das Ergebnis ist links oben eingekastelt.

Ich habe das Problem als Superposition einer geerdeten Kugel mit Punktladung im Außenraum und einer geladenen Kugel ohne Punktladung angesehen.

\beta und q_1 habe ich mir genau wie in der VO berechnet und dann über den Zusammenhang Q=q_2+q_3 die fehlende Punktladung ausgedrückt.


Kann vielleicht jemand der oder die Bsp 4) schon gemacht hat es hochladen?
20130618_170540.pdf (929 KB)