So, die neuen Sadistik Beispiele gibts auch schon.
uebung2.pdf (27.9 KB)
Ah, danke, ich habe noch gar nicht mit frischen Beispielen gerechnet.
Also das erste kommt mir seltsam einfach vor. Es sei denn, ich hätte eine versteckte Schwierigkeit übersehen.
Für Punkt a) komme ich jedenfalls auf
V_G=\frac{c_w (T_2-T_1) V_w}{H_S}
und bei Punkt b) auf
T=\frac{c V_z T_z + c_w V_w T_2}{c V_z + c_w V_w}
Jupp, das 1. ist wohl Demtröder 1
Zu 2 erhalte ich:
b) E(T,V,N)=-\frac{a.N^2}{V} + \frac{3}{2}N.k_B.T
c) C_x=-\frac{a.N^2}{V.T} + \frac{3}{2}N.k_B
d) \kappa_T=\frac{V^2 (V-N.b)^2}{V^3N k_B T - 2a.N^2(V-N.b)^2}
dieser Term hat für T_c=\frac{8.a}{27b.k_B}, V_c=3N.b eine Singularität.
und für \gamma=1, da T zur 1.Potenz im Nenner vorkommt und man herausheben kann, sodass \kappa_T \sim\ \frac{1}{T-T_c}
Wie hast du 2.c. gerechnet? Hab grad ein Problem damit, was ich wonach ableite…
Ich habe in E, V=X/T gesetzt und dann nach T mit konstantem X & N abgeleitet:
E=-\frac{a.N^2}{V}+\frac{3}{2}N.k_B.T\ \overset{V=X/T}\Leftrightarrow\ -\frac{a.N^2.T}{X}+\frac{3}{2}N.k_B.T\\
C_X:=\frac{\partial E}{\partial T}|_{X,\ N}
Aber bin da auch noch ziemlich ratlos, wahrscheinlich ist es eher C_X:=\frac{\partial F}{\partial T}|_{X,\ N}?
Ich würde bei 2c auch deines heraus bekommen wenn ich nur die Innere Energie (also E bzw U) verwende, aber es steht ja nichts von Isochor in der Angabe sondern dass das Produkt aus VT konstant ist, daher das Volumen kann sich auch ändern. Daher darf man den Arbeitsanteil glaub ich nicht einfach weglassen. Schließlich kommt die Definition von c_V und c_P ja aus dem ersten Hauptsatz dQ=dU+pdV. Nimmt man nur E/U so bekommt man ja eigentlich nur c_V.
was habt ihr beim 1er jetzt eigentlich angestellt?
Ich habe die Angabe so interpretiert dass \Delta Q=H_S \Delta V und gleichgesetzt mit \Delta Q=c_W M \Delta T.
führt dann auf
V_G=\frac{c_W M}{H_S}(T_2 - T_1)
b hab ich was mit \Delta U=\frac{3}{2}k_B N \Delta T gemacht aber ich glaub das is eher anders gedacht, muss ich nochmal anschaun.
zu 1a) [c_W]=\frac{J}{Km^3}, d.h. keine Masse M sondern Volumen V_W verwenden (s.h. Angabe), dann kommt bei dir auch das von Demon raus.
zu 1b) verwende ich, dass Wasser und Luft nach dem Wärmeaustausch im therm. GW sein müssen, d.h. gleiche Temp. T haben müssen, weiters muss die vom Wasser abgegebene Wärmemenge gleich der von der Luft augenommenen sein:
c_W.V_W.(T2-T)=c_L.V_L(T-T_z) und man kommt wieder auf das gewichtete Mittel Ergebnis von Demon
zu 2c) ja die mech. Arbeit hab ich dort unterschlagen gehabt, chem. Arbeit müssen wir nicht berücksichten da konstante Teilchenzahl d.h.
C_X:=\frac{\partial Q}{\partial T}|{X,N}=\frac{\partial E}{\partial T}|{X,N} + p.\frac{\partial V}{\partial T}|{X,N}???
mit X=V.T, wäre das dann:
\frac{\partial E}{\partial T}|{X,N}=-\frac{a.N^2}{V.T} + \frac{3}{2}N.k_B\
p.\frac{\partial V}{\partial T}|_{X,N}=-p.\frac{V}{T}\
p=\frac{N.k_B.T}{V-N.b} -a.\frac{V^2}{T^2}
\
\
C_X=-\frac{a.N^2}{V.T} + \frac{3}{2}N.k_B - \frac{N.k_B.V}{V-N.b} + \frac{a. N^2}{V.T}\ \Leftrightarrow\ \frac{3}{2}N.k_B - \frac{N.k_B.V}{V-N.b}
Habe gerade einfach jedes dV im ersten Hauptsatz durch dV=-\frac{X}{T^2}dT ersetzt und kann dann alles schön auf dT Terme zusammen fassen. Nach einsetzen für P kommt mir auch das gleiche c_X raus wie dir gerade.
1b bekomme ich auch das gleiche raus (hab auch zuerst überhaupt net verstanden was da gemeint ist). Bin von \frac{d}{dt}Q=0 ausgegangen (Energieerhaltung) bzw \Delta Q = 0, also:
0=c_wV_w(T-T_2)+cV(T-T_z)
mir bleibt da ein ln übrig, vl is die frage auch blöd, aba wo kommt der bei dir hin?
Um E aus F zu erhalten, macht man die inverse Legendre Transfo:
F=E-S.T\ \Rightarrow\ E=F+S.T
mit S=-\frac{\partial F}{\partial T}|_{V,N}=+k_B.\ln\left[\frac{(V-b.N)^N}{N!.\lambda^{3N}}\right] +\frac{3}{2}k_B.N
d.h. die lns heben sich auf…
das ist mir beim ersten mal rechnen auch passiert, ich hab aber die innere ableitung falsch angeschrieben! rechne das nochmal nach, vielleicht kürzt es sich dann weg! vielleicht hast du auch das T beim einsetzen in E=F+TS vergessen!? (ist mir auch passiert -.- als ich unkonzentriert war…schäm)
wie „ungefähr“ ist eure lösung vom beispiel 2d? ich krieg für
\kappa_{T}\sim \left | T-T_{c} \right |^{-\gamma}
wenn ich V=3bN links in \kappa_{T} und T_{c}=\frac{8a}{27bk_{B}} rechts einsetze, krieg ich für \gamma=1
\frac{36 b^{2}}{27 k_{B}Tb-8a}\sim\left | \frac{27bk_{B}T-8a}{27 b k_{B}} \right |^{-1}
is das „ungefähr“ richtig?
Sehe gerade, dass das nicht stimmen kann (zumindest meine Herleitung), da ja V ein V(T,…) ist 
Irgendwer eine Idee 
@Origin: Wieso setzt du V=3N.b, wenn dies nur für T=T_C gilt
Ich habe im Nenner so heraus gehoben dass ich stehen habe:
\frac{(…)}{(…)[\frac{2aN}{kV^3}(V-Nb)^2 - T]}=\frac{(…)}{(…)[T_C - T]}
Also diesen Linearfaktor im Nenner einfach als die kritische Temperatur identifiziert.
Edit:
OK glaube ich weiß was du meinst. Gute Frage eigentlich. Zuerst hats logisch gewirkt das V einfach als Variable drinnen zu lassen (ohne T Abhängigkeit zu betrachten), aber jetzt bin ich mir auch net sicher.
Edit 2:
OK ich war da wohl wärend dem rechnen etwas zu voreilig und hab einfach T_c nochmal definiert, was ja nicht passen kann. Muss auch nochmal überlegen wie man das angehen kann.
Wenn man für V einsetzt bekommt man nämlich tatsächlich den Ausdruck für T_c, aber ich weiß nicht ob man bei Kappa in diesem bereich das V ~ 3bN als konstant annehmen kann und nur die Temperatur verändert.
Ich hab’s so interpretiert, dass wir \kappa _T um den kritischen Punkt „entwickeln“ sollen und habe einfach V \sim\ V_C gesetzt. Soll heißen, dass ich behaupte, V sei um den kritischen Punkt annähernd konstant.
Daher dann auch das „~“ bei \kappa_T \sim\ \left | T - T_C \right | ^{- \gamma}.
Kann mich bitte jemand von der Leitung runtertstoßen auf der ich steh.
Warum darf man 2c so rechnen wie das hier so schön gemacht wurde?
@Znut: Danke 
, das wird’s sein, Wikipedia sagt auch
ok sehr gut dann passt es als näherung um den kritischen punkt eh.
2c kann man so rechnen weil man ja nur eine proportionalität von dQ zu dT sucht, und wenn man das dV durch genannte beziehung ersetzt lässt sich das dT überall heraus heben und man kann ein C_X definieren.
Dankeschön!! 