4. Übung am 3.12.2010

461 Technische Physik (Mas.) Quantentheorie II
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Seit gestern online und hier mal die Angabe.

Recherchen im Archiv vom letzten mal haben ergeben, dass Beispiel 10 recht analog zu Beispiel 7 aus Übung 3 von letztem Jahr ist. Nicht exakt gleich, aba ma kriegt schon gute Hinweise dafür. Hinweise für Beispiel 9 kriegt man aus Beispiel 11 aus Übung 4.

Im Gegensatz zu den ersten 3 Übung ist das hier eine Denker-Übung bei der man kein „sicheres Beispiel“ exakt Punkt für Punkt von der Musterlösung „nachvollziehen“ kann. Auch wurscht.
uebung04.pdf (82.5 KB)

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Gibts schon Lösungen zu 9b?

Bekomme da für die Übergangswahrscheinlichkeit P_{\mid \downarrow \rangle \leftarrow \mid \uparrow \rangle} was raus proportional zu

Sin^2(\frac{\omega+\gamma B_z}{2}t)

Hat jemand ähnliches?

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hey!

wie kommst du auf:

Sin^2(\frac{\omega+\gamma B_z}{2}t)

und wie bekommst du das B_z rein?

Hast du es mit den Übergngswahrscheinlichkeiten (Formel (2.71) im Skript) gerechnet?

wir bekommen ja

\frac{1}{4} \gamma^2 B_r^2 * \frac{sin^2(\omega t/2)}{\omega^2 /4}

raus. Schaut nicht so schlecht aus denke ich, aber halt auch nicht so gut! :slight_smile:

Edit: ein t war zuviel.

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also 9ab hätte ich erstmal so gemacht:

9a)

H(t)=H_0+V(t)=-\gamma\vec{S}\vec{B_0}-\gamma\vec{S}\vec{B}

Wobei B das konstante B_z is und B das rotierende

9b)

mit formel 2.71

\frac{B_r^2\gamma^2 sin^2(\frac{\omegat}{2})}{4\frac{\omega^2}{4}

was er bei 9c unter „exakt“ versteht weiß ich jedoch net.

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mit dieser formel darf man, glaub ich, nicht rechnen. sie gilt nur wenn, die störung zwischen 0 und t nicht zeitabhängig ist, was bei uns leider nicht der fall ist… man muss wie auf seite 48 unter „fermis goldene regel für periodische störungen“ vorgehen.
lg
tobi

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@Lelouch

ich glaub, er will, dass wir mit gestörten H = H_0 + V(t), die Übergangswahrscheinlichkeit berechnen sollen.

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Die Übung ist diesmal ziemlich anstrengend…

10a: Als Eigenzustände erhalte ich

t_{2g}:\
{\
\frac{1}{\sqrt2}(|-2\downarrow>-|2\downarrow>), \frac{1}{\sqrt2}(|-2\uparrow>-|2\uparrow>), |-1\downarrow>,|-1\uparrow>,|1\downarrow>,|1\uparrow>
\}\
\
e_g: {\frac{1}{\sqrt2}(|-2\downarrow>+|2\downarrow>), \frac{1}{\sqrt2}(|-2\uparrow>+|2\uparrow>), |0\downarrow>,|0\uparrow>}

10b: Ich habe L.S wie üblich umgeschrieben in
\frac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)
und dann die Basis-Vektoren mit der schönen Clebsch-Gordan-Tabelle aus QT1 aus |Lz,Sz> in |JM> Basis umgeschrieben und die Matrixelemente berechnet…
Mit 1.Ordnung Störungstheorie für Energien erhalte ich dann eine teilweise Aufhebung der Entartung:
Gleiche Energien für die Vektoren 1&2, 3&6, 4&5

10c: Erhalte ich als Grundzustand -4.05Dq, was auch sehr schön zu -4.0515Dq exakt passt.
Was den angeregten Zustand betrifft habe ich noch keine Idee…

Was habt ihr, hat das jemand eleganter/richtiger gerechnet?

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Meine Gedanken zu 9:

a) Hamilton ist: H(t)=H_0+V(t)=-\gamma\vec{S}\vec{B_0}-\gamma\vec{S}B_r*[cos(\omegat)\vec{S_x} + sin(\omegat)\vec{S_y}]

b) ich muss von der Formel 2.75 für periodische Störungen ausgehen

wobei \omega_fi = -\muhB_z und V = -\muB_rh/2*\begin{pmatrix}
0 & e^{-i*\omegat} \ e^{i\omega*t}
& 0
\end{pmatrix}

und jetzt irgendwie dass a_fi ausrechnen und dann Betragsquadrat davon für die Übergangswahrscheinlichkeit
wie geht das (vor allem richtig :wink:) ???

c) Man muss auf jeden Fall den gesamten Hamilton diagonalisieren (hat er glaub ich in der VO erwähnt)

gesamter Hamilton in S_z Basis schreiben:
H = -\muh/2\begin{pmatrix}
B_0 & B_re^{-i\omegat} \ B_re^{i*\omega*t}
& -B_0
\end{pmatrix}
→ Eigenwertgleichung lösen und Eigenvektoren bestimmen und dann ???

oder doch anders ?

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@nemesis

wenn du die eigenvektoren ausgerechnet hast kannst du ein transformationsmatrix schreiben: T = (e1, e2)

H_{diag} = T^{-1}HT

dann solltest du folgende matrix erhalten -in der diagonale sollten die eigenwerte stehen:
[1 0 ]\frac{\hbar}{2}\sqrt{B_r^2 + B_z^2}
[0 -1]

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Ich glaube bei 9b ist es am sinnvollsten von Formel 2.68 auszugehen! Da ist noch nicht berücksichtigt dass V nicht von der Zeit abhängt wie in 2.70!
Einfach V(t) mit Hilfe der Pauli Matrizen in z Basis ausdrücken und Integral ausrechnen!

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Jop, danke, so geht es viel leichter/schneller

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Wie ging die Tabelle nochmal?
Also wie wähle ich den richtigen Block aus? (Wo links oben steht zb 1/2x1/2 usw), das sonstige auslesen wär kein problem.

unser Lz geht von -2 bis 2, dh der Block ist 2x1/2 richtig?

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Richtig :slight_smile:

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mag mir das vielleicht jemand mit dem auslesen erklären? ^^

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nach der notation rechts oben: m1 m2 = Lz Sz. jetzt entsprechen zb bei Lz=1=m1 und Sz=1/2=m2. jetzt horizontal im nächsten kästchen stehen die koeffizienten und darüber als spalten die J Mj.

zb ausm 2x1/2 Block:

|1; 1/2> = (4/5)^{1/2}|5/2 ;3/2>-(1/5)^{1/2}|3/2; 3/2>

zu 10c)
ich bekomme da die matrix

V=\frac{\hbar^2}{2}\zeta*diag(0,0,1,-1,-1,1)

(reihenfolge hängt natürlich von der wahl ab)
Das Problem is nun eben das \hbar^2 da vorne. Dadurch kann ich net vernünftig mit den Dq rechnen.

Edit:
ausser… reden wir hier vom system mit \hbar=1 oder SI?..

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@Lelouch
Bekomme dieselben Energiekorrekturen heraus, natürlich ist \hbar=1 hier…

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ich bekomme bei 10b) fast das gleiche, aber für E_1 und E_2 bekomm ich E_1=+\zeta, E_2=-\zeta

stellt sich die große Frage, wie komm ich auf eine einzige Energie beim 10c) ?
Ich berechne mir ja in b) die Aufhebung der Entartung von t2g, d.h. es gibt jetzt 3 verschiedene Energien zum Grundzustand t2g. Was genau ist dann aber E_gs(full)=-4,0515Dq
3 Energien ↔ 1 Energie => Problem! ^^

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Ich schreib einfach mal welche nummern ich vergeben hab für die werte dann kannst vergleichen:

|1>=\frac{1}{2^{1/2}}(|-2;->-|2;->
|2>=\frac{1}{2^{1/2}}(|-2;+>-|2;+>
|3>=|-1;->
|4>=|-1;+>
|5>=|1;->
|6>=|1;+>

Korrekturen:
1&2 =0
3&6=zeta/2
4&5=-zeta/2

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hab meinen fehler denk ich
was is mit c?

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Ich hab nur zwei Korrekturen bekommen, die dann jeweils 4-fach entartet ( -\zeta/2
) und 2-fach entartet ( \zeta ) sind → dann krieg ich auch die Energien für Grundzustand (bei mir -4.05) und 1. angeregten Zustand (-3.9). D.h. die Abweichungen zu den angegeben Energien sind nicht so groß und muss noch irgendwie erklärt werden.