Also ich eröffne mal ein neues Spiel, ein neues Glück!
Zu 1a habe ich auch gleich eine (rein mathematische) Frage:
Was wird denn aus: \bigtriangledown r^{2} \psi
Sowas wie: r^{2} \bigtriangledown \psi + \psi \bigtriangledown r^{2} = r^{2} \bigtriangledown \psi + 2* \psi \bigtriangledown r ???
tut2009_5.pdf (42.2 KB)
Da ich jetzt auch wieder scannen kann stelle ich einfach eine Kopie online von dem was ich gemacht habe.
Das Ergebnis deckt sich auch mit dem, was man etwas später mittels Induktion beweisen soll.
Kann man das so rechnen, oder muss man das r^2 so nach den Rechenregeln rausheben??
So wie du das oben geschrieben hast würde noch eine Klammer nach dem Gradienten gehören, dann stimmts aber mit der Produktregel überein ja. Laut Skript wirkt der Kommuntator dabei auch auf beides und nicht nur auf das was direkt rechts davon steht. (Seite 45 unten)
sehe gerade in der File ist noch ein schreibfehler drinnen (hab beim 2ten das Psi am ende einfach vergessen). Das Psi gehört da natürlich noch hin wenn mans mim ket schreibt, aber das is formsache.
Hübsch, verstehe!
Bei 1b bleibt mir blöderweise jeweils nur 0 über. Bei [p,H] verstehe ich das auch, bei [x,H] hats aber blöderweise keinen Sinn! Da bleibt mir nämlich ansich \psi \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d^{2}x}x, und das ist ja auch 0?!?!? Oder bleibt mir da, wenn ich einfach kürze statt ableite \frac{\hbar^2}{2m}??
1b kommt [x,H] glaube ich sogar direkt im Skript vor (nur seitenverkehrt). Ehrenfest Theorem Seite 64.
Hier auch 1b)
Das mit den klassischen Gleichungen weiß ich aber noch nicht.
Hm moment 1b kann bei dem Impuls so nicht ganz stimmen. Hab vergessen dass V nicht konstant ist sondern V(x). Dadurch wirds doch nicht 0 sondern es bleibt dieser Kommuntator übrig #-o
müsste sein:
[p,H]=-i\hbar \partial _{x}V
Ui, ja, hab ich auch gar nicht gemerkt!
Nur beim [x,H] fällts weg, da [x,V(x)]=0, oder?
Ja da fällt es weg.
1c)
Ich frage mich ob das für n=1 sinnvoll ist. jedenfalls ist dann die Vorraussetzung nicht wirklich notwendig, oder?
Hier einmal für n=2:
[z.z. [A,B^2]=B[A,B]\
[A,B^2]=[A,B \cdot B]=[A,B]B+B[A,B]=(A B -B A)B+B(A B -B A)=B[A,B]+[A,B]B=2B[A,B]]
Unter der Verwendung der Vorraussetzung:
[B,[A,B]]=0 \Leftrightarrow [A,B]B=B[A,B]
und der Formel für $[A,BC]$
Und dann für n+1 unter Vorrausetzung von Gültigkeit der Aussage für n (und : $[A,B]B=B[A,B]$)
[z.z. [A,B^{n+1}]=(n+1)B^n[A,B]\
[A,B^{n+1}]=[A,B^nB]=[A,B^n]B+B^n[A,B]=nB^{n-1}[A,B]B+B^n[A,B]=nB^n[A,B]+B^n[A,B]=(n+1)B^n[A,B]]
Womit die Aussage für für alle $n\geq 2$ bewiesen wäre.
Also jetzt noch die Frage ob es reicht zu sagen dass die Aussage für n=1 gilt, anstatt es für n=2 zu zeigen. Kommt mir irgendwie zu trivial vor 
Wieso, für n=1 ist es doch erfüllt. Das B ausserhalb wird zum einheitsoperator (also 1), der Vorfaktor wird zu multiplikation mit 1, also bleibt [A,B] und auf der anderen Seite bleibt genau das Gleiche stehen. Induktionsanfang zu zeigen ist meistens nur ein 1 Zeiler 
Irgendwie ist 2a seltsam. Da steht Psi(x) = <x|Psi>. Brauch ich dazu nicht erst das Psi in Impulsdarstellung? Ausserdem was nehme ich jetzt eigentlich für das <x| ? der Ortsoperator „x“ ist es ja nicht (und bei dem würde 0 heraus kommen).
Die Ortsdarstellung wirkt schonmal komplett sinnlos, wenn man das Ergebniss vom angegeben Beispiel verwendet, welches ja im Ortsraum ist. Da kommt doch einfach nur n Integral über ne Deltafunktion zustande und die Eigenfunktion ist unverändert. Das kann doch net zielführend sein.
kann mir ma wer die wellenfunktion aus der zweiten übung anschreiben plz?
Also wenn ich das stur drüber integriere schaut das so aus (Anhang).
Wirkt aber irgendwie seltsam.
ja, das obige hab ich auch.
Aber damit wird’s bei mir dann wirklich hässlich, wenn ich die Wahrscheinlichkeit berechne.
Aber was will er dann beim Psi(x) haben? Will er dass wir die Schrödingergleichung irgendwie auf ein Skalarprodukt herum schlichten um das dann per Integral zu lösen? Weil wenn man die Lösung nimmt ist man ja bereits im Ortsraum und das <x|Psi> macht net wirklich n Sinn weil es nur wieder das gleiche Psi zurück gibt.
Tja, vielleicht soll das die tiefere Erkenntnis sein 
??
Nein, einerseits kann ich auch nicht sagen, was man anderes dabei schreiben könnte, aber andererseits versteh ich den Sinn dieser Lösung mit dem gleichen Psi (nur mit einer anderen Variablen) auch nicht.
#-o
Also mein Vorschlag, wäre ,dass wir uns ja nur im eindimensionalen aufhalten. d.h. der ortsraum wird nur von einem eigenvektor aufgespannt, und der ist ganz primitiv (1,0,0). also <x| = 1. So wird auch im Skriptum gerechnet bei <x|p> od. <p|x>! und daher ist die Ortsdarstellung bereits durch die Lösung gegeben!
Außerdem nehme ich an, haben alle bei Hamiltonoperator bei der Kinnetischeengerie den p-Opertor im Ortsraum genommen → daher bekommen wir eine Lösung im Ortsraum!
Also 2a) ist nur eine Nachschauübung;)