Ich sehe in dieser Beispielsammlung gibt es ein ähnliches Beispiel wo er die Schrödingergleichung im Impulsraum löst. (Auch Delta Pot aber bissl andere Vorfaktoren glaub ich)
Hilft mir aber grad net wirklich weiter für den Ortsraum weil ich den Impulsoperator mit den Eigenfunktionen vom Ortsraum auf kein Skalar umschreiben kann.
Hey zum downloadbaren bsp 2b! Fehlt da im Ergebnis nicht noch ein Faktor 2…wenn man dei Brüche zusammenaddiert steht oben 2*mA!
Ja tut es.
Hallo!
Also habe mich grad über das Bsp 2c hergemacht und mir kommen folgende Lösungen raus:
Erwartungswert = 0 
?!
und für die Wahrscheinlichkeitn den Impuls in einem Intervall zu finden, da habe ich einfach das Betragsquadrat der Wellenfunktionen im Impulsraum genommen 
… stimmt das? Ich kann ja argumentieren, dass die Fläche unter meiner Gaußkurve die Wahrscheinlichkeit für den gemessenen Impulsbereich angibt!..analog im Ortsraum, wo die Fläche die Aufenthaltswahrscheinlichkeit angibt!
Betragsquadrat (also Dichte) ist [p,p+dp] das stimmt.
Erwartungswert von p ist ebenso 0. Wenn man sich die Kurve zeichnen lässt, sieht man ganz schön dass es eine um 0 ungerade Funktion ist und im unendlichen gegen 0 strebt jeweils.
Wie das mit [-p,-p-dp] gemeint is, bzw wie man das formal mit Formeln zeigen soll, versteh ich noch nicht ganz.
Da „p“ ja nur Quadratisch auftaucht heißt dass doch nur dass die Funktion um 0 smmetrisch ist oder steh ich auf der Leitung?
ok ich hab da jetzt argumentiert dass wenn ich bei der Transformation in den Ortsraum das p und Psi vertausche, also C konjugiere, dann bekomme ich auch die C konj von Psi(p) heraus. Da hier aber das Psi im Ortsraum reell ist sind C konj Psi(x) und Psi(x) identisch und man sieht dass sich das ganze nur noch durch Impulsvorzeichen unterscheidet. Also Ist C konj von Psi(p) gleich Psi(-p). Wie man bei der Funkion sieht sind diese beiden Ausdrücke aber wieder gleich, daher Psi(p) ist symmetrisch um 0. Wenn man nun an die Rücktransformation denkt, hat man 1d quasi im vorbeilaufen gelöst, weil dadurch wieder folgt dass Psi(x)=Psi(-x) ist, was hier ja auch der Fall ist.
Werde es evtl später noch einscannen, spätestens aber morgen (falls ich nicht vergesse).
.
Hier noch meine Lösungen:
2c:
Wenn man
im Ortsraum anstatt im Impulsraum berechnet sind die Integrale einfacher:
<\psi | p| \psi> \Leftrightarrow \int\int <\psi|x><x|p|x’><x’|\psi>dx dx’ \Leftrightarrow \frac{\hbar}{i}\int <x|\psi>*\partial_x<x|\psi>dx \Leftrightarrow \frac{\hbar \kappa}{i} \int_{-\infty}^\infty e^{-\kappa|x|}\partial_x e^{-\kappa|x|}dx \Leftrightarrow \
\frac{\hbar \kappa^2}{i} \left[ \int_{-\infty}^0 e^{2\kappa x}dx - \int^{\infty}_0 e^{-2\kappa x}dx \right] \overset{*1} \Leftrightarrow 0\ ,\ \psi(x)=\sqrt{\kappa}e^{-\kappa |x|}, \kappa:=\frac{m A}{\hbar^2}
*1: Im 2. Integral x’=-x & Integratiosgrenzen vertauschen liefert das negative 1.Integral
Aber wahrscheinlich gibt es da noch etwas eleganteres ohne Rechnung 
2d:
Da habe ich einfach, mit der Voraussetzung \tilde{\theta}(p)=\tilde{\theta}(-p)\ \Leftrightarrow\ <p|\theta>=<-p|\theta>
\theta(x)\Leftrightarrow <x|\theta>\Leftrightarrow \int <x|p><p|\theta> dp \Leftrightarrow \\int <x|-p><-p|\theta>dp \overset{s.h. VS} \Leftrightarrow \int <-x|p><p|\theta>dp \Leftrightarrow \theta(-x)
2c:
Ja die gibt es und die ist auch ganz simpel (im Impulsraum). Betragsquadrat = gerade Funktion, p = ungerade Funktion, gerade*ungerade=ungerade, ungerade Funktion über symmetrisches Intervall ist 0. Rechnung gezeigt ohne auch nur eine Zeile zu rechnen 
Jupp, genau, danke, wieder paar Zeilen weniger 
Bei meinem Integral hab ich übrigens vergessen ein paar Konstanten bei der ersten Substitution wegzustreichen für das 2te Xi. Aber da das Integral sowieso 0 wird spielt das keine Rolle.
ok beim ganzen Integral fehlt n Quadrat im Nenner.
Auswirkungen: keine.
Integral weiterhin 0.
Hallo!
Ich habe mir mal gedanken zu der Frage bei 1.b gemacht, wo das Ergebnis mit den Hamiltonschenbewegungsgleichungen verglichen werden soll!
Also mir fallen da nicht besonders viel gemeinsamkeiten auf :
\left { H \right x}=\frac{\partial x}{\partial t
Wobei die Klammer die Poissonklammer ist!
und für die Quantenmechanik ergibt sich dann:
C\frac{\partial \psi }{\partial x}=\left [ X \right H]psi
Wobei die Klammer für den Kommutator steht!
Naja, der Vergleich ist etwas seltsam…hat irgendwer etwas besseres??? [-o<
das komische Viereck steht für x natürlich;)
Ich merke gerade eine Unstimmigkeit im Mechanik Skript. Dort ist die Poissonklammer genau anders rum definiert, als man sie zb auf Wikipedia findet. Das resultiert darin, dass je nachdem wie man sie nimmt das Vorzeichen anders ist.
Ich glaube aber die Definition auf Wikipedia ist richtig, denn dort bekomme ich aufs Vorzeichen richtig die klassischen Bewegungsgleichungen wenn ich die Größen deute.
2cd korrigiert (Integral auch nochmal korrekt durchgerechnet)
1b vergleich Poissonklammer zu Kommuntator.
Edit: Man jetzt hab ich vergessen das dumme Vorzeichen ganz oben bei 1b zu ändern. Ersetzt bei der Definition der Klammern einfach + durch - und anders rum, dann stimmts wieder.
Hello!
Hinke da leider etwas hinterher, hab erst das 1. BSP schön brav gerechnet. Wie meint ihr das mit „Nachschauen & abschreiben“?? Einfach das Ergebnis aus der 2. Übung raussuchen??
Und welche Beispielsammlung hast du denn gemeint, wo die Schrödingergleichung im Impulsraum gelöst wird??
Danke!
Die Beispielsammlung ist die welche auf der Quanten Seite verlinkt ist, bzw wo wir vorherige Übung schon nachgeschaut haben wegen dieser gemeinsamen Eigenbasis. Müsste BSP 3.14. sein, aber er meinte ja heute dass es doch nicht so gefragt ist. (und er hats auch ca so vorgezeigt wie man sie im Impulsraum ansetzt, in der Sammlung wirds halt mit Integral und vergleichen usw gelöst. ziemlich aufwändig)
Für den ersten Punkt hab ich jetzt auch nur die Schrödingergleichung mit bra-ket hintegeschrieben und eben mit dieser <x| Basis umgeformt (1:1 wie er heute, konnte mir davor net vorstellen was ich sonst machen sollte ausser zu sagen dass es ja bereits Ortsraum ist wenn ich die Lösung nehme) und dann halt die Lösung von der früheren Übung hingeschrieben mim Argument halt dass es die identische Schrödingergleichung ist.
Punkt b dann einfach mittels dem Integral über die e-Funktion in den Impulsraum übertragen.
Hallo, konnte leider gestern nicht in die VO kommen, was hat er da denn gezeigt bez. Schrödingergleichung mit <x| Basis umformen?
Kann es sein, dass beim 2b ein Fehler in der Rechnung ist (gleich ziemlich am Anfang)???
Ich krieg nämlich ein \frac{1}{\hbar \sqrt{\hbar}} statt \frac{\hbar}{\sqrt{\hbar}}!
Würde noch jemand außer mir zu sowas kommen: \frac{\sqrt{mA}}{\sqrt{2 \pi \hbar^3}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{ipx}{\hbar}} e^{-\frac{mA \left | x \right |}{\hbar^2}} dx??