Ja die Konstante vorne schaut anders aus am ende. Hab da beim herausziehen n Fehler gemacht.
Das war im Grunde nur ausgehend von der Schrödingergleichung (ohne Basis, also die Operatoren allgemein und nicht nach Orts-/Impulsdarstellung eingesetzt) :
H|\Psi >=E|\Psi >
<x|H|\Psi >=E<x|\Psi >=E\Psi (x)
\int dx’<x|H|x’><x’|\Psi >=E\Psi (x)
<x’|\Psi >=\Psi (x’)
\left [\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} -A\delta (x)\right ] \Psi (x)=E\Psi (x)
Was ja wieder die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung ist, welche bereits gelöst wurde.
Ah super, ich danke Dir! 
Dann ist also \int dx’<x|H|x’> = H
Versteh ich das richtig?
Das mit dieser Bra Ket Schreiberei und von wegen Basislos ist irgendwie noch ein wenig ein chinesisches Dorf für mich…
Der Punkt dabei ist eigentlich dass du die eigenfunktionen auf die Operatoren anwendest.
<x|\hat{P}^{2}|x>=-\hbar^{2}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}
<x|V(\hat{x})|x>=V(x)
Da die Funktionen orthogonal sind kommt es zu einem \delta (x-x’) (sonst würde ja alles 0) wo das Delta beim Integral ausführen dann halt verschwindet. Es geht einfach nur darum dass die Operatoren zuerst Koordinatenfrei sind, und durch die bra-ket erst dem Ortsraum zugewiesen werden.