Beim 1.Bsp. glaube ich, daß so ziemlich alles klar sein sollte, obwohl es mir ein wenig zu einfach erscheint.
Beim 2.Bsp: um zu beweisen, daß die |b1> und |b2> eine ONBasis bilden muß logischerweise deren Skalarprodukt Null ergeben und sie sollten auch normierbar sein; nun bis dahin ist es klar, allerdings im Laufe des Beweises, sollte man auch klarstellen, daß auch die |a1> und |a2> normierbar sein müssen!! Um die zu „beweisen“ ist es ausreichend, wenn man die vollständige 1 mit ins Spiel reinnimmt, oder ist es zu wenig?
Ad 3.Bsp. habe ich noch nicht viel, muß noch nachdenken.
Im 3. wird eine beidseitig eingespannte Saite kurzzeitig zu einer einseitig eingespannten, die sich mit der Geschwindigkeit d/dt(abs(Psi(x,t))) bewegt.
Nun ist 3a klar:
Die Geschwindikeit vom Potential muss größer als die Geschwindigkeit d/dt(abs(Psi(x,t))), also d/dt(rho(x)), mit rho(x)=wahrscheinlichkeitsdichte; also v(Potential)> -divergenz(j(x)), j(x)… Wahrscheinlichkeitsstrom
Hab mir gedacht, dass es mit einer Fourierreihe funktionieren kann, also die erste Wellenfunktion (sin(PIx/L)Theta(L-x) darstellen in den Basisfunktionen der 2. eingesperrten wellenfunktion (sin(nPIx/2L)).
Das sollte recht einfach sein, und die Wahrscheinlichkeiten wären dann einfach die Quadrate der Entwicklungskoeffizenten.
Weiß aber noch nicht ob das funktioniert; versuche es seit einiger Zeit mit maple zu zeichnen, das ist aber nicht was ich mir vorstelle…
zu3: also das entwickeln in den Basisfunktionen des größeren Topfes hat bei mir super funktioniert.
Für den Erwartungswert des 1. angeregten Zustandes bekomm ich 1/2, hat das noch wer?
zu2: a.) is ja soweit kein problem aber was ist bei b.) gemeint? Ist a1 in der {a} Darstellung einfach (1,0) und a2, (0,1)?
jo so isses, einen vektor des hilbertraums in {a} darstellung zu schreiben heisst einfach die koeffizienten der entwicklung nach der basis a in eine matrix (bzw halt vektor) zu schreiben.
für a1 gilt dann a1(als matrix)= (,)=(1,0)
genauso gehts für a2.
edit: komme beim dritten irgendwie nicht weiter, kann jmd helfen?
Ja für die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen unmittelbar nach Entfernen der Wand im ersten angeregten Zustands des großen Topfes bekomme auch ich 1/2.
Nur wie gehts, dann weiter. Beim Punkt c) ist ja dieses „unmittelbar nach Entfernen…“ nicht mehr in der Angabe. Zeitliche Entwicklung…
?
hm, ich versteh einfach nicht wie ihr auf 1/2 kommt. wenn ich den n=1 zustand der kleinen topfes gleichsetze mit der entwicklung nach den eigenvektoren des großen topfes, dann bleibt bei der entwicklung doch nur der n=2 koeffizient bzw eigenzustand stehen, oder? und da ich dann nur einen möglichen zustand im großen topf habe, müsste die wahrscheinlichkeit dann 1 sein.
wo liegt mein fehler?
ich glaub ich weis was dein fehler ist: du musst den zustand aus dem kleinen topf zwischen L und 2L mit 0 fortsetzen. Wennst das nicht machst kommt genau das raus, was du rausbekommen hast.
für 3c) hab ich \frac{32}{9\pi^2}
für 3d) hab ich (vor und nach der Ausdehnung) E_1=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2}
@Rumte
Du musst den Grundzustand des kleinen Potentialtopfs Sin[pix/L] (ohne norm.) mit theta(L-x) multiplizieren, da sich der Topf ja extrem schnell um L vergrößert hat, und ihn dann in den Eigenfnk des großen Topfs (die vom kleinen mit L → 2L) entwickeln, also beide von 0 bis 2L integrieren.
Da kommen dann die Entwicklungskoeffizienten raus. Bei mir: a = (4sqrt(2)Sin[npi/2])/(pi*(4-n^2))
@ataxia
3c hab ich dasselbe. Für e hab ich bis jetzt keine ahnung
ich glaub dass du einfach die Funktion \sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{\pi x}{L}}\quad x\in[0,2L] nach den Eigenfunktionen des großen Topf entwickelt hast, dann kommt nämlich genau das raus was du geschrieben hast. Du musst aber die Funktion \begin{cases}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin{\frac{\pi x}{L}} &\quad \mathrm{falls }\quad x\in[0,L] \ 0 & \quad\mathrm{falls }\quad x\in(L,2L]\end{cases} entwickeln.
@ berni
mein vorschlag zu (e): wenn man die wand „langsam und stetig“ verschiebt ändern sich die bedingungen kontinuierlich und die wellenfunktion kann nicht in einen angeregten zustand wechseln. für delta t >> Periodendauer sollte das jedenfalls gelten.
wenn ich die Funktion, die ihr da alle entwickelt, entwickeln will, bekomm ich dabei aber auch cos-Glieder raus, was auch einleuchtend erscheint, immerhin ist die Funktion weder gerade noch ungerade - ergo sin UND cos - Glieder
die Eigenfunktionen des großen Topfes sind aber nur Sinusse
also wie (zur Hölle verdammtnochmal, ja, ich sitz da schon ne Weile dran) wollt ihr die Funktion mit den Eigenfunktionen des großen Topfes ausdrücken?
Das wirds wahrscheinlich sein, schon allein weils der einzige andere einfache extremfall ist. Da muss dem Teilchen dann durch das langsame verschieben der Wand irgendwie Energie entzogen werden, weil die Grundzustandsenergie des goßen Topfs kleiner ist.
@weana
Du darfst die Funktion nicht in einer Fourier Reihe entwickeln sondern in den Eigenfunktionen des großen Topfs, und die besteht nur aus Sinusen (weil an x(0) = 0).
Die Eigenfunktionen sind: phi_n = 1/(sqrt(L)Sin[npix/2L]
Die Grundzustandsenergie des Teilchens im großen Topf verringert sich um das 4fache, im vergleich zu der im kleineren.
Durchs „Hinschauen“ auch einsichtig.
für die „sudden approximation“, wobei das Teilchen nicht sofort „merkt“ daß sich die Wand des Potentialtopfes veschoben hat, soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, womit das Teilchen im Grungzustand bleibt, weiterhin nach der Dilatation: dafür bekomme ich 60%
für den Fall daß das Teilchen im ersten angeregten Zustand übergeht erhalte ich 70% [considerate Einschaltspitze]
Hat dies noch wer?
@ Luckyluk: (zu 3.e) dies was Du beschreibst ist eine „adiabatische approximation“, wo die Parametern sich alle so extrem langsam ändern und somit bekommt das Teilchen nichts mit von der Raumverschiebung, weil es sich stetig anpaßt an die minimalen Raumänderungen.
Was allerdings in (e) gefragt ist, ist wie lange braucht das Teilchen zu merken, daß sich die Wand plötzlich verschoben hat? und ab wann wird es sich entsprechend anpassend dazu verhalten? (so habe ich dies verstanden und somit ist der Rechnungsansatz doch anders)
Irre ich mich da bei der Frageninterpretation?
