Also hiermit eröffne ich die 3.Runde und lade alle ein, ihre Lösungen zu posten 
glg andi
tut2009_3.pdf (42.5 KB)
Beim 2ten habe ich zwar schon die Formeln aufgestellt, aber hatte keine Lust sie zu lösen.
Ich denke mir dass es einfach so abläuft: Gleichung vor Delta und nach Delta lösen. Wellenfunktion an 0 ist eine Konstante (ist ja logisch wenns nur für x=0 gilt), und dann einfach in die Übergangsbedingungen einsetzen.
1a)
Atommasse für Lithium 7: http://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_lithium
Für die Geschwindigkeit hab ich die mittlere Geschwindigkeit (Demtröder I, (7.28)) genommen.
\lambda_{80nK}=3,65, \mu m
\lambda_{293K}=60,493, pm
1b)
Demtröder II (10.44)
m=60\cdot m_{C}
Edit: Hab irrtümlich Maxima statt Minima gelesen, jetzt stimmt’s:
b_{spalt}=\frac{\lambda }{\theta }=110,78, nm
Mit größeren Massen: Irgendwann wird der Spalt schmaler als das Teilchen selbst, bzw der Spalt bekommt die Dimension von Atomdurchmessern.
1c)
Disprelation freies Elektron: \omega ist proportional zu k² => \frac{d\omega}{dk}\neq const.
Disprelation Photonen: \omega ist proportional zu k => \frac{d\omega}{dk}= v_{phase}=c
Hey!
Zu 1.c!
Wie habt ihr das gerechnet?!
Ich habe einfach wie im Skript, ein Gauß wellenpaket angenommen, und dann die Funktion ausgerechnet!
Natürlcih muss man eine andere Dispersionrelation, w=ck verwenden, aber nichts desto trotz verfließt mein Wellenpaket…?!
Kann das stimmen?
glg andi
Das hab ich nicht gerechnet. Es steht nur „Überlegen Sie, ob das Wellenpaket des elektromagnetischen Feldes zerfließt“ → Nehme daher nicht an, dass eine Berechnung gefordert ist, wenngleich das natürlich auch interessant wäre.
Ich versteh nicht ganz. Was meint er überhaupt mit der Dispersionsrelation des EMAG Feldes?
Dein Ansatz ausgeführt: (I vor Delta, II nach Delta)
\psi_{I}(x)=A, e^{ik_{1}x}+B, e^{-ik_{1}x}
\psi_{II}(x)=C, e^{ik_{2}x}+D, e^{-ik_{2}x}
k_{1}=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}
k_{2}=\sqrt{\frac{2m(E-V_{1})}{\hbar^2}}
D=0 weil von Rechts nix draufgeschossen wird
Bei x=0: mit \xi =\frac{2m{A}‚}{\hbar^{2}} und A‘ Stärke von Delta:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0) \Rightarrow A+B=C
{\psi_{II}}‚(0)-{\psi_{I}}‘(0)=\xi \psi(0)=\xi (A+B)
Wenn ich dann in die letzte Formel einsetz komm ich für B auf:
B=A, \frac{i(k_{2}-k_{1})-\xi}{\xi-i(k_{1}+k_{2})}
und für C halt auf C=A+B
Hat das noch jemand so bis zu dieser Stelle? Stimmt der Ansatz bzw die Ausführung überhaupt?
Wenn ich dann R und T ausrechnen lasse in Mathematica kommt recht abenteuerliches heraus. R+T=1 kommt nur raus wenn die Stärke vom Deltapotential um einige größenordnungen höher ist, als E und V. Bei gleichen Größenordnungen spuckt Mathematica für R+T Werte auch größer als 1 aus. (zb. 1,4 )
Da stimmt doch irgendwas nicht.
Hat schon jemand was für’s Dritte?
Das Feld „besteht“ aus Photonen, und die haben im Vakuum die Dispersionsrelation w=c.k
Ja, habe ich auch so
Bei mir kommt für R+T=1 heraus.
Wichtig ist, dass jetzt hier für T gilt: T=\frac{k2}{k1}\frac{|C|^2}{|A|^2}…
Vielleicht hilft das: Stell gleich die Transfermatrix M auf, musst du dann sowieso im 3er machen, damit kann man R & T sauber ausrechnen (s.h. Skript S.31 unten) \begin{pmatrix}
A\
B
\end{pmatrix}
=M
\begin{pmatrix}
C\
D
\end{pmatrix}
Muss man denn nicht auch davon ausgehen, dass B=0?? Sonst würde die Wellenfunktion ja (Richtung minus unendlich) unendlich werden?!?
Nein B ist die Amplitude der reflektierten Teilchen. Was du willst ist ein Ausdruck von B und C in Abhängigkeit von A (welche als gegeben genommen wird).
Das hier sind auch keine gebundenen Zustände mehr sondern du feuerst von links Teilchen drauf und schaust wie sie sich verhalten. Die Funktion ist hier nicht mehr normierbar.
Ich glaube ich bekomme Auch den Gleichen Ausdruck heraus, aber beim zeigen von T+R=1 bin ich komplett gescheitert (wird auch extrem ekelhaft).
Wieso das?
Ansonsten schließe ich mich an das oben gesagte an. Hab den Ansatz ebenso gemacht und komme für T + R ebenfalls auf >1
Für Bsp.b. (E<V) bekomme ich auf diese Art R = 1
Die Definition für Transmissionskoeff T ist ja T=\frac{|j_{trans}|}{|j_{in}|},
(s.h. Skript S.28) ist j_{right}=\frac{\hbar k}{m}|A|^2. j_{in}=j_{trans} für k=k1, ebenso j_{trans}, aber diesmal mit anderem Wellenvektor nämlich k=k2
d.h. T=\frac{\frac{\hbar k2}{m}|C|^2}{\frac{\hbar k1}{m}|A|^2}\Rightarrow T=\frac{k2}{k1}\frac{|C|^2}{|A|^2}
Für Reflexion sind die Wellenvektoren gleich - kürzen sich daher
Tja, das kleingedruckte müsste man halt lesen… 
Danke! Jetzt sagt Mathematica auch brav R+T=1. Händisch muss ich noch ausrechnen.
Bei 3b) bekomme ich T=\frac{1}{5+4\sin(2 k L), mit k=\sqrt{2 m E}/\hbar, hoffe das stimmt 
Hab das Kleingedruckte ebenfalls nicht gelesen, jetzt ist alles klar.
Bei Bsp.3 bekomme ich T = \frac{1}{5-4sin(2kL)}
Ich komme auch auf dein Ergebnis, wenn ich statt Delta-Barrieren - Delta-Spalten verwende (lt. Griffiths „Introduction to Quantum Mechanics“, Problem 2.28)
Hast du statt der Übergangsbed.:
\psi_{II}‚-\psi_{I}‘=\frac{2m}{\hbar^2}A\psi_{I}
vielleicht
\psi_{II}‚-\psi_{I}‘=-\frac{2m}{\hbar^2}A\psi_{I}
verwendet???
Ich bekomme bei 2a jetzt zwar 1 heraus, aber bei 2b passt irgendwas nicht. Habe das 2te k vorm Betrag bilden jetzt durch i*Kappa ersetzt, aber bekomme für R=1 heraus aber für T ungleich 0.
\frac{C}{B}=\frac{-\xi -\kappa -ik}{\xi +\kappa -ik}
\left | \frac{C}{B} \right |^{2}=R=1
T=\left | \frac{i\kappa }{k} \right |\left | \frac{D}{B} \right |^{2}=\left | \frac{i\kappa }{k} \right |\left | \frac{-2ik}{\xi +\kappa -ik} \right |^{2}
Wo überseh ich da nen Fehler?
Mir ist zwar bewusst dass alle Teilchen reflektiert werden müssen nachdem sie eine gewisse Strecke ins Potential eingedrungen sind, trotzdem nervt mich das Ergebniss für T #-o
Edit:
OK verstehe schon, wir haben die Rücklaufende Amplitude ja ignoriert. Die Müsste man für b wieder einführen. Einfache Fehler sind die häufigsten Fehler…
Bei uns kommt auch irgendwas mit R+T>1 raus!!
Ja ich habs grad begriffen (siehe Edit). Weil wir ja die Rücklaufende Amplitude verworfen haben kann natürlich nicht 1 heraus kommen.